Srčnica

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nastanek srčnice z vrtenjem krožnice po drugi krožnici.
Srčnica prikazana kot ovojnica krožnic, katerih središča ležijo na dani krožnici in gredo skozi stalno točko na dani krožnici.

Srčnica (tudi kardioida) (iz grške besede καρδία, kar pomeni "srce") je ravninska krivulja, ki nastane pri vrtenju krožnice po drugi fiksni krožnici, ki ima enak polmer. Pri tem pa se spremlja fiksna točka na gibajoči se krožnici.

Parametrična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe srčnice je

 x = a (2\cos t - \cos 2 t), \,
 y = a (2\sin t - \sin 2 t). \,

To pa v kompleksni ravnini lahko zapišemo kot

 z = a (2e^{it} - e^{2it}) \,.

kjer je

  •  a \, polmer krožnice, ki dela krivuljo. Fiksna krožnica ima središče v izhodišču.

Točka, ki dela krivuljo, se krivulje dotika samo v eni točki, to je točka  (a, 0) , kjer ima krivulja konico.

Če eliminiramo parameter  t \,, dobimo

(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0

to pa je v pravokotnem koordinatnem sistemu

(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0.\,

Enačbo lahko tudi poenostavimo tako, da fiksno krožnico premaknemo v desno, in gibajoča se krožnica se dotika fiksne v izhodišču. To spremeni orientacijo krivulje tako, da je konica krivulje na levi strani. V tem primeru je parametrična oblika enačbe

 x = a (1 + 2\cos t + \cos 2 t), \,
 y = a (2\sin t + \sin 2 t) \,.

V kompleksni ravnini pa je to

 z = a (1 + 2e^{it} + e^{2it}) = a(1 + e^{it})^2. \,

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba srčnice

 \left(x^2+y^2-2ax\right)^2 = 4a^2\left(x^2 + y^2\right) \,.

Povezave z drugimi krivuljami[uredi | uredi kodo]

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • ploščina ploskve, ki jo zavzema srčnica je enaka
 A = 6 \pi a^2\,.

To je 6-krat več kot je ploščina posameznega kroga, ki je sodeloval pri izdelavi srčnice.

 L = 16 a \,.

Kavstika[uredi | uredi kodo]

Nekatere kavstike imajo obliko srčnice.

Srčnica (v zeleni barvi) se dobi kot inverzna krivulja parabole (v rdeči barvi) glede na krožnico (črtkano).

Inverzna krivulja[uredi | uredi kodo]

Srčnica je inverzna krivulja parabole. Kadar poiščemo inverzno krivuljo glede na krožnico, katere središče leži v gorišču parabole, vedno dobimo srčnico. Konica srčnice leži v središču krožnice.

Ni pa vsaka inverzna krivulja parabole srčnica. Na primer: če poiščemo inverzno krivuljo za parabolo glede na krožnico, katere središče leži na vrhu parabole, dobimo Dioklesovo cisoido.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]