Srčnica

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nastanek srčnice z vrtenjem krožnice po drugi krožnici.
Srčnica prikazana kot ovojnica krožnic, katerih središča ležijo na dani krožnici in gredo skozi stalno točko na dani krožnici.

Sŕčnica (tudi kardioída) (iz grške besede καρδία, kar pomeni srce) je ravninska krivulja, ki nastane pri vrtenju krožnice po drugi negibni krožnici, ki ima enak polmer. Pri tem pa se spremlja fiksna točka na gibajoči se krožnici.

Parametrična oblika enačbe[uredi | uredi kodo]

Parametrična oblika enačbe srčnice je:

 x = a (2\cos t - \cos 2 t) \!\, ,
 y = a (2\sin t - \sin 2 t) \!\, .

To pa se v kompleksni ravnini lahko zapiše kot:

 z = a (2e^{it} - e^{2it}) \!\, ,

kjer je

  •  a \, polmer krožnice, ki dela krivuljo. Negibna krožnica ima središče v koordinatnem izhodišču.

Točka, ki dela krivuljo, se krivulje dotika samo v eni točki, to je točka  (a, 0) , kjer ima krivulja konico.

Če se eliminira parameter  t \,, je:

 (z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0 \!\, ,

to pa je v pravokotnem koordinatnem sistemu:

 (x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0 \!\, .

Enačbo se lahko tudi poenostavi tako, da se negibna krožnica premakne v desno, in se gibajoča se krožnica dotika negibne v izhodišču. To spremeni orientacijo krivulje tako, da je konica krivulje na levi strani. V tem primeru je parametrična oblika enačbe:

 x = a (1 + 2\cos t + \cos 2 t) \!\, ,
 y = a (2\sin t + \sin 2 t) \!\, .

V kompleksni ravnini je to:

 z = a (1 + 2e^{it} + e^{2it}) = a(1 + e^{it})^2 \!\, .

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba srčnice:

 \left(x^2+y^2-2ax\right)^2 = 4a^2\left(x^2 + y^2\right) \!\, .

Povezave z drugimi krivuljami[uredi | uredi kodo]

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

  • ploščina ploskve, ki jo zavzema srčnica, je enaka:
 p = 6 \pi a^2\,.

To je 6-krat več kot je ploščina posameznega kroga, ki je sodeloval pri izdelavi srčnice.

 L = 16 a \,.

Kavstika[uredi | uredi kodo]

Nekatere kavstike imajo obliko srčnice.

Srčnica (v zeleni barvi) se dobi kot inverzna krivulja parabole (v rdeči barvi) glede na krožnico (črtkano).

Inverzna krivulja[uredi | uredi kodo]

Srčnica je inverzna krivulja parabole. Kadar se poišče inverzno krivuljo glede na krožnico, katere središče leži v gorišču parabole, se vedno dobi srčnica. Konica srčnice leži v središču krožnice.

Ni pa vsaka inverzna krivulja parabole srčnica. Na primer: če se poišče inverzno krivuljo za parabolo glede na krožnico, katere središče leži na vrhu parabole, se dobi Dioklesovo cisoido.

Sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]