Klotoida

Klotoida ali Cornujeva (Eulerjeva) spirala.

Prehod iz ravnega (modro) dela cestišča v krožni del (zeleno). V tem primeru se v prehodnem delu (rdeče) uporablja klotoida.

Klotoída (tudi Cornujeva spirala in Eulerjeva spirala) je transcendentna krivulja, katere ukrivljenost se spreminja linearno vzdolž njene dolžine. Spada med spirale.

Krivuljo je proučeval švicarski matematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707 – 1783), pozneje pa francoski fizik Marie Alfred Cornu (1841 – 1902).

Uporaba

Krivulja se uporablja pri načrtovanju cest in železnic oziroma pri določanju njihovih lokov in krivin. Na naslednji sliki je prikazan prehod med dvema krivuljama z uporabo klotoide. Ravni del je prikazan z modro barvo, z zeleno barvo je prikazana krožnica v katero mora preiti ravni del cestišča ali železnice. Z rdečo barvo je prikazana klotoida, ki v tem primeru predstavlja prehod med ravnim delom in krožnico. Takšna oblika krivulje se uporablja pri gradnji cest. To omogoča linearno naraščanje radialnega pospeška pri gibanju po cestišču, ki ima takšne ukrivljenosti. S tem se prepreči nenadne spremembe radialnega pospeška. Na podoben način se krivulja uporablja tudi pri vertikalnih nagibih cestišč in železniških prog.

Polarna oblika enačbe klotoide

Po definiciji klotoide velja:

$\frac {1}{R} = \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \propto s \!\, ,$

to pa je:

$R s = \text{konst} = R_c s_o\,$

$\frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} = \frac {s}{R_c s_o} \!\, .$

V polarnem koordinatnem sistemu sta enačbi klotoide:

$\begin{align} x & = \int_0^L \cos\theta \, \mathrm{d} s = \int_0^L \cos \left[ (a s)^2 \right] \mathrm{d} s \end{align}$

in:

$\begin{align} y & = \int_0^L \sin\theta \, \mathrm{d} s = \int_0^L \sin \left[ (a s)^2 \right] \mathrm{d} s \\ \end{align}$.

Pri tem je:

$\theta = (a s)^2 \,$

in:

$a = \frac {1}{\sqrt {2R_c s_o} }$.

V vseh zgornjih primerih je:

• $R \,$ polmer ukrivljenosti
• $R_c \,$ polmer krožnice na koncu spirale
• $\theta \,$ kot med začetkom spirale in določeno točko na spirali
• $L , s \,$ dolžina, merjena vzdolž spirale od njene začetne točke
• $L_s , s_o \,$ dolžina spirale

Dolžina spirale

Dolžina spirale, merjena od izhodišča, je enaka:

$L = \int_0^t {\sqrt {\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2}} = \int_0^t{\mathrm{d} t} = t \!\, .$

Iz tega vidimo, da je dolžina spirale neskončna.

Ukrivljenost

Ukrivljenost označujemo s $\kappa$:

$\kappa = \tfrac {1}{R} = \tfrac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = 2t \!\, .$

Stopnja spreminjanja ukrivljenosti v odvisnosti od dolžine krivulje je:

$\tfrac {\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d} t^2} = 2 \!\, .$

Ukrivljenost klotoide je v vsaki točki sorazmerna z razdaljo od izhodišča. Zaradi tega je tudi zelo primerna za uporabo krivulje prehoda pri gradnji avtocest in železniških prog.

Fresnelov integral

Normalizirana Fresnelova integrala, S(x) in C(x).

Kadar je $a = 1 \,$, rečemo, da je klotoida normalizirana. Kartezične koordinate so v tem primeru podane s Fresnelovima integraloma $C (L) \,$ in $S (L) \,$, ki sta definirana kot:

$C(L) =\int_0^L\cos s^2 \, \mathrm{d} s \!\,$

$S(L) = \int_0^L\sin s^2 \, \mathrm{d} s \!\, .$

Če istočasno narišemo v parametrični obliki $S (L) \,$ in $C (L) \,$, dobimo klotoido.

Z uporabo potenčnih vrst za

$\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots$

in

$\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots$

dobimo za $C (L) \,$ vrednost:

$\begin{align} C(L) &= \int_0^L \cos s^2 \, \mathrm{d} s \\ &= \int_0^L (1 - \frac{s^4}{2!} + \frac{s^8}{4!} - \frac{s^{12}}{6!} + \cdots) \, \mathrm{d} s \\ &= L - \frac{L^5}{5 \cdot 2!} + \frac{L^9}{9 \cdot 4!} - \frac{L^{13}}{13 \cdot 6!} +\cdots \end{align}$

in za $S (L) \,$ vrednost:

$\begin{align} S(L) &= \int_0^L \sin s^2 \, \mathrm{d} s \\ &= \int_0^L (s^2 - \frac{s^6}{3!} + \frac{s^{10}}{5!} - \frac{s^{14}}{7!} + \cdots) \, \mathrm{d} s \\ &= \frac{L^3}{3} - \frac{L^7}{7 \cdot 3!} + \frac{L^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{L^{15}}{15 \cdot 7!} +\cdots . \end{align}$

Zunanje povezave

• Klotoida (Cornujeva spirala) na MathWorld (v angleščini)
• Klotoida (Eulerjeva spirala) na 2dcurves.com (v angleščini)
• Klotoida (Cornujeva spirala) na HyperPhysics (v angleščini)
• Uporaba klotoide (v angleščini)