Vrtnica (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivulja vrtnica s 7 listi (k = 7)
Krivulja vrtnica z 8 listi (k=4).
Vrtnice, ki so določene z r=\sin k \theta, za različne vrednosti k=n/d.

Vrtnica (tudi rodoneja) je družina krivulj, ki so sinusoide narisane v polarnih koordinatah. Krivulje so si podobne, lahko jih podamo s pomočjo enačbe

\!\,r=\cos(k\theta).

kjer je  k \, celo število, ki določa obliko oziroma število listov, ki jih ima vrtnica, na naslednji način:

  •  2k \, listov kadar je  k \, paren
  •  k \, listov kadar je  k \, neparen.


Ime rodoneja je krivulji dal rimskokatoliški duhovnik, filozof, matematik in inženir Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) med leti 1723 in 1728 [1].

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • Kadar se  k \, konča z 0,5 (primeri 0,5, 2,5, ….) ima krivulja 4 liste.
  • Kadar se  k \, konča z 1/3 ali 5/6 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2, 8,333333, …..) ima krivulja 12k listov
  • Kadar se  k \, konča z 1/3 in je večji od 1 (primeri: 1,33334, 2,333334, ….) ima krivulja obliko vrtnice ter
    • ima 3k listov, če je  k \, paren
    • ima 6k listov, če je  k \, neparen
  • Kadar se  k \, konča z 2/3 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2,66666667, …..) ima ima krivulja obliko vrtnice ter
    • ima 6k listov, če je  k \, paren
    • ima 3k listov, če je  k \, neparen
  • Kadar je  k \, racionalno število je krivulja zaprta in ima končno dolžino.
  • kadar pa je  k \, iracionalno število, je krivulja zaprta in ima neskončno dolžino.
  • Kadar je  k \, paren, se bo krivulja izrisala točno enkrat, med tem, ko se bo  \theta \, povečal od 0 do  2\pi \,.

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Če ima krivulja enačbo

r=a \cos (k\theta)\,

kjer je

  •  k \, pozitivno celo število, je za paren  k \,

ploščina enaka


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

in je za neparen  k \, enaka


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}
.

To velja tudi za vrtnice, ki so določene z enačbo

r=a \sin (k\theta)\,.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]