Brahistokrona

Brahistokrona (tudi brahistohrona, grško βραχίστος: brahistos - najkrajši + χρόνος: kronos - čas) je ravninska krivulja, po kateri masna točka z začetno hitrostjo iz neke točke (A) pride v drugo točko (B) v najkrajšem času pod pogojem, da nanjo deluje konstanten gravitacijski pospešek in da trenje ni prisotno.

Brahistokrona je cikloida

Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y v začetno lego drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

$\frac{1}{2} mv^{2} - m g y = 0 \!\, .$

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:

$t = \int \frac{\mathrm{d} s}{v} = \int_{(1)}^{(2)} \frac{\mathrm{d} s}{\sqrt{2gy}} \!\, ,$

če je $\mathrm{d} s^{2} = \mathrm{d} x^{2} + \mathrm{d} y^{2}$ kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

$x = r (\varphi - \sin \varphi) \!\, ,$

$y = r (1 - \cos \varphi) \!\, .$

Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro ugotovimo, da je:

$\begin{align} \mathrm{d} s &= \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \varphi} \right) ^{2} + \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \varphi} \right) ^{2} } \mathrm{d} \varphi = \sqrt{r^{2} (1 - \cos \varphi)^{2} + r^{2} \sin^{2} \varphi} \, \mathrm{d} \varphi \\ &= \sqrt {2r^{2} (1 - \cos \varphi) } \, \mathrm{d} \varphi = \sqrt{2ry} \, \mathrm{d} \varphi \!\, \end{align}$

in čas:

$t = \sqrt{\frac{r}{g}} \varphi \!\, .$

Zgodovina

Problem brahistokrone je postavil Johann Bernoulli in zanj leta 1696 prvi objavil rešitev, ki pa naj bi bila v resnici rešitev njegovega brata Jakoba. Spada med variacijske probleme, Johann Bernoulli pa velja za očeta variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil Leonhard Euler leta 1774.