Bernoullijeva lemniskata

Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči.

Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja, ki jo definirata dve dani točki $F_1$ in $F_2$, ki ju imenujemo gorišči. Točki sta na razdalji $2a$ tako, da je $PF_1 \cdot PF_2 = a^2 \,$

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse.

Enačbe Bernoullijeve lemniskate

Polarni koordinatni sistem

Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je

$r^2 = 2a^2 \cos 2\theta \,$.

Kartezični koordinatni sistem

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate

$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2) \,$.

Parametrična oblika enačbe

Parametrična oblika enačbe je

$x = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)}{\sin(t)^2 + 1}; \qquad y = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^2 + 1}$.

Bipolarna oblika enačbe

Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je

$rr' = a^2$.

Odvodi

Za $y$ kot funkcijo $x$

$\frac{dy}{dx} = \begin{cases} \mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x \ne 0 \\ \pm1 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\ \frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)} & \mbox{kadar je } y \ne 0 \end{cases}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases} \mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\ 0 & \mbox{kadar je } y = 0 \mbox{ in } x = 0 \\ \frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3} & \mbox{kadar je } y \ne 0 \end{cases}$

Za $x$ kot funkcijo $y$

$\frac{dx}{dy} = \begin{cases} \mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ \pm1 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\ \frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)} & \mbox{v ostalih primerih } \end{cases}$

$\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases} \mbox{neomejeno} & \mbox{kadar je } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ 0 & \mbox{kadar je } x = 0 \mbox{ in } y = 0 \\ \frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3} & \mbox{v ostalih primerih} \end{cases}$

Glej tudi

• Boothova lemniskata
• Geronova lemniskata
• lemniskatna eliptična funkcija
• Gaussova konstanta
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• (Bernoullijeva) lemniskata na MathWorld (v angleščini)
• Bernoullijeva lemniskata na The MacTutor History of Mathematics (v angleščini)
• Bernoullijeva lemniskata v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)
• Bernoullijeva lemniskata v National Curve Bank (v angleščini)