Dioklesova cisoida

Konstrukcija Dioklesove cisoide.

Dioklesova cisoida je ravninska krivulja tretje stopnje. Dioklesova cisoida je posplošitev cisoide.

Zanjo je značilno, da jo lahko uporabimo za konstrukcijo razmerij.

Ime cisoida izvira iz grške besede κισσοείδες kissoeides, kar pomeni oblika bršljana, ki izhaja iz besede κισσός kissos (bršljan), ter besede -οειδές -oeides, kar pomeni podoben. Imenuje se po grškem matematiku in geometru Dioklesu (okoli 240 p. n. št – okoli 180 p. n. št). Diokles je krivuljo odkril pri reševanju problema podvojitve kocke v 2. stoletju p. n. št. Pozneje so jo proučevali še francoski pravnik, matematik in fizik Pierre de Fermat (1601 – 1665), nizozemski astronom, fizik in matematik Christiaan Huygens (1629 – 1695) ter valonski matematik René François Walther de Sluze (1622 – 1685). Je cisoida krožnice in tangentne premice na krožnico glede na točko na krožnici nasproti dotikališča.

Naprava s pomočjo katere lahko narišemo cisoido.

Oblike obrazcev

Naj bo $C\,$ krožnica s premerom OA in $L\,$ naj bo v točki $A\,$ tangenta na krožnico.

Enačba Dioklesove cisoide v kartezičnem koordinatnem sistemu je

$y^{2}\,(2a-x)-x^{3}=0$

V parametrični obliki je enačba enaka

$x=r\cos \theta =2a\sin ^{2}\theta ={\frac {2a\tan ^{2}\theta }{\sec ^{2}\theta }}={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}$

$y=tx={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}$.

V polarnih koordinatah pa je $r=2a\sin \varphi \tan \varphi \,$ kjer smo označili parameter s $t=\tan \varphi \,$.

Tudi angleški fizik, matematik, astronom, filozof, ezoterik in alkimist Isaac Newton (1642 - 1727) je podal način konstrukcije Dioklesove cisoide.

Diokles je uporabil cisoido, da je dobil srednje velikosti za dano razmerje. To pomeni, da je za dani dolžini $a\,$ in $b\,$ uporabil krivuljo, da bi dobil u in v tako, da bi veljalo $u/a=v/u=b/v\,$.

Par parabol, ki sta z vrhovoma obrnjeni druga proti drugi, ena je zgoraj (zelena), druga spodaj (modra). Zgornja parabola se zavrti brez drsenja po spodnji. Pot, ki jo napravi vrh zgornje parabole pri vrtenju po spodnji, je ruleta (prikazana z rdečo barvo). Nastalo krivuljo imenujemo tudi Dioklesova cisoida.

Krivulja ruleta

Recimo, da imamo dve skladni (kongruentni) paraboli, ki sta postavljeno tako, da se dotikata v vrhu. Njuni enačbi naj bosta

$y=x^{2},\$

$y=-x^{2}.\$

Paraboli sta simetrični z vrhovoma obrnjenima drug proti drugemu (glej sliko na desni).

Poglejmo točko $(a,a^{2})\,$zgornje parabole. Naklon tangente v zgornji paraboli na tej točki je

${d(x^{2}) \over dx}=2x\,$.

Razdalja v zgornji paraboli od točke $(0,0)\,$ do točke $(a,a^{2})\,$ je enaka razdalji na spodnji paraboli od točke $(0,0)\,$ do točke $(a,-a^{2})\,$. To pa pomeni, se med vrtenjem zgornje parabole, kjer je začetna točka na $(a,a^{2})\,$ pride do tangentnega stika na spodnji paraboli v točki $(a,-a^{2})\,$. Ko sta dve takšni točki v stiku sovpadeta tudi tangenti, ki pa imata takrat enak nagib, ki je enak $-2a\,$. Naj bo $\theta \,$ kot, ki ga tvori tangenta z x-osjo V tem primeru velja

$\tan \theta =2a\qquad \qquad (1)$.

Inverzna krivulja

Dioklesovo cisoido lahko definiramo tudi kot inverzno krivuljo parabole s središčem inverzije na vrhu parabole. Poglejmo parabolo $x=y^{2}\,$. V polarnih koordinatah je njena enačba enaka

$r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}$.

Inverzna krivulja ima obliko

$r={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta$.

To pa je posebni primer definicije Dioklesove cisoide v polarnih koordinatah. Konstrukcijo inverzne krivulje Dioklesove cisoide se imenuje tudi konstrukcija z dvojno projekcijo. Mehanizem, ki to omogoča, je prikazan na sliki.

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Dioclesova cisoida (angleško)
• Dioklesova cisoida na MathWorld (angleško)
• Dioklesova cisoida na PlanethMath Arhivirano 2011-06-29 na Wayback Machine. (angleško)