Ribja krivulja

Ribja krivulja ima obliko ribe.

Ribja krivulja je negativna nožiščna krivulja elipse, ki ima nožiščno točko v fokusu posebnega primera elipse z izsrednostjo enako $e^2=\frac{1}{2}$ .

Njena oblika je podobna ribi in zato ima tudi takšno ime.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba ribje krivulje:

$(2a^4 + y)^2 - 2\sqrt {2}ax(2x^2 - 3y^2) + 2a^2(y^2 - x^2) = 0 \!\, .$

Če pa bi izhodišče premaknili do vozla, pa bi enačba imela obliko: $(2x^2+y^2)^2+2 \sqrt {2} ax(2x^2-3y^2)+2a^2(y^2-x^2)=0$ .

Za elipso, ki ima parametrično obliko enačbe:

$x=\arccos(t)-\frac {\arcsin^2 (t)}{\sqrt 2}, y=\arccos(t)\sin(t)$

ima njena ribja krivulja obliko:

$x=\cos(t), y=\frac {\arcsin(t)}{\sqrt {2}} \!\, .$

Ploščina

Ploščina ribje krivulje je dana z:

$\begin{align} p &= \frac {1}{2}|\int(xy'-yx') \mathrm{d} t| \\ &= \frac {1}{8}a^2|\int[3\cos(t)+\cos(3t)+2\sqrt {2}\sin^2 t] \mathrm{d} t| \!\, . \end{align}$

Pri tem pa je ploščina samo repa enaka:

$\mathbf{p}_{rep}=(\frac {2}{3}-\frac {\pi}{4\sqrt {2}})a^2$

ploščina celotne glave pa je:

$\mathbf{p}_{glava}=(\frac {2}{3}+\frac {\pi}{4\sqrt {2}})a^2$

Kar da za ploščino celotne ribje krivulje vrednost: $p=\frac {4}{3}a^2$ .

Ukrivljenost

Ukrivljenost ribje krivulje je podana z obrazcem:

$K(t)=\frac {2\sqrt {2}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a[\cos^4 t+\sin^2 t+\sin^4 t+\sqrt {2}\sin(t)\sin(2t)]^\frac {3}{2}}$.

Tangentni kot

Tangentni kot ribje krivulje je:

$\varphi(t)=\pi- \arg\left( \sqrt {2}-1-\frac {2}{(1+\sqrt {2})e^{it} -1} \right) \!\, ,$

kjer je

• $\arg(z)$ kompleksni argument (funkcija, ki deluje nad kompleksnimi števili).

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang, Ribja krivulja na MathWorld (v angleščini)