Trisektrisa Pascalovega polža

Trisektrisa Pascalovega polža

Trisektrisa Pascalovega polža (včasih tudi samo trisektrisa) pripada družini Pascalovih polžev, ki imajo lastnost tretjinjenja kota. Krivuljo lahko definiramo kot presek dveh premic, ki se enakomerno vrtita okoli ločenih točk tako, da je stopnja vrtenja enaka 2 : 3. V začetku sta premici na premici, ki povezuje dve točki. To je torej primer Maclaurinove trisektrise.

Trisektrisa je splošno ime za vse krivulje, ki se uporabljajo za tretjinjenje kotov (delitev kotov na tri dele).

Opis nastanka

Prva premica se vrti okoli izhodišča in z osjo x tvori kot $\theta$. Druga premica pa se vrti okoli točke $(a, 0) \,$ in, ko ima kot $3\theta /2$ je kot med njima $\theta /2$.

Krivulja seka samo sebe v izhodišču, krivulja seka x-os va točki s koordinatama $(3a, 0) \,$, vrh notranje zanke pa je v točki s koordinato $(a, 0)$.

Če krivuljo pomaknemo tako, da je vrh notranje zanke v izhodišču, potem enačba dobi obliko

$r = 2a\cos{\theta \over 3}$

To pa pomeni, da krivulja spada v družino krivulj z imenom roža.

Trisektrisa Pascalovega polža v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba trisektrise Pascalovega polža

$r=a \frac {\sin \tfrac{3}{2}\theta}{\sin \tfrac{1}{2}\theta} = a(3\cos^2 \tfrac{1}{2}\theta - \sin^2 \tfrac{1}{2}\theta) = a(1+2\cos\theta)$.

Delitev kota na tri dele

Znanih je nekaj načinov uporabe krivulje za delitev kota na tri dele. Naj bo kot $\varphi \,$ kot, ki ga želimo razdeliti na tri dele. Najprej potegnemo črto od notranje manjše zanke, to je od točke s koordinatami $(a, 0)$ s kotom $\varphi \,$ z x-osjo. Naj bo s P označena točka, kjer seka črta krivuljo. Predpostavljamo, da je ta točka na zunanji zanki, če je kot $\varphi \,$ majhen. Potegnimo še eno črto od izhodišča do točke P. Kot, ki je med obema črtama, deli kot $\varphi \,$ na tri dele.

Glej tudi

• Pascalov polž
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Trisektrisa Pascalovega polža na 2dcurves.com (v angleščini)
• Trisektrisa na Visual Dictonary of Special Curves (v angleščini)
• Trisektrisa Pascalovega polža v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)
• Trisekcija kota (v angleščini)