Pascalov polž

Nastanek Pascalovega polža.

Pascalov polž (tudi samo polž) je vrsta rulete, ki nastane takrat, ko se krožnica zavrti po zunanji strani enako velike krožnice. Te vrste krivulj spadajo v družino središčnih trohoid oziroma med epitrohoide. Po obliki lahko imajo notranje ali zunanje zanke, lahko imajo obliko srca ali celo ovala. Pascalov polž je dvokrožna racionalna algebrska ravninska krivulja s stopnjo 2.

Prvi je proučeval krivuljo polž francoski matematik Étienne Pascal (1623 - 1662), oče znanega francoskega matematika, filozofa in fizika Blaisa Pascala (1623 – 1662).

Trije polži: samo z jamico (vboklino), s konico (kardioida) in z zanko.

Pascalov polž v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba Pascalovega polža

$r = b + a \cos \theta \,$.

Pascalov polž v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba

$(x^2+y^2-ax)^2=b^2(x^2+y^2). \,$

Pascalov polž v parametrični obliki

Parametrična oblika enačbe Pascalovega polža je

$x = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2\theta,\, y = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2\theta.$

Pascalov polž v kompleksni ravnini

V kompleksni ravnini enačba Pascalovega polža zavzame obliko

$z = {a\over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.$

Če jo premaknemo horizontalno za $a/2 \,$, dobimo običajno obliko središčne trohoide

$z = b e^{it} + {a\over 2} e^{2it}.$

Povezave z drugimi krivuljami

• naj bo $P \,$ točka in $C \,$ naj bo krožnica katere središče ni $P \,$. V tem primeru je ovojnica teh krožnic, katerih središča ležijo na krivulji $C \,$ in gredo skozi $P \,$ Pascalov polž.
• nožiščna krivulja krožnice je Pascalov polž.
• konhoida krožnice glede na točko na krožnici je Pascalov polž
• posebni primer kartezičnega ovala je Pascalov polž
• Pascalov polž je epitrohoida, če imata vrteča se in fiksna krožnica enake polmere
• Pascalov polž je katakavstika krožnice za žarke, ki prihajajo iz točke, ki je na končni razdalji od oboda .

Zunanje povezave

• Pascalov polž na www.2cuves.com (v angleščini)
• Pascalov polž v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)