Zlata spirala

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Zlata spirala je ravninska krivulja, ki jo v polarnem koordinatnem sistemu (r, θ) opišemo z enačbo:

r = f(\theta ) = \phi ^{{\theta  \over \pi/2 }}\qquad(1)\; ,

kjer sta \phi\, število zlatega reza (zlato razmerje) in \pi\, Ludolfovo število.

Konstrukcijo zlate spirale približno izvedemo v zlatem pravokotniku s pomočjo četrtinskih lokov včrtanih krožnic v posamezna polja zlatega pravokotnika. Razdelitev zlatega pravokotnika na takšna polja prikazuje Slika 1:

Slika 1: Zlatorezna polja v zlatem pravokotniku

Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic znotraj zlatoreznih polj kaže Slika 2:

Slika 2:Včrtavanje četrtinskih lokov krožnic

Polmeri lokov predstavljajo padajoče geometrijsko zaporedje s količnikom, enakim obratni vrednosti zlatega razmerja

 \varphi  = {1 \over \phi } = {{\sqrt 5  - 1} \over 2}\qquad(2) \!\, ,

oblike

 r_n  = r_1 \varphi ^{n - 1}\qquad(3) \!\, .

Zlata spirala spada v družino logaritemskih spiral (predlog za ime logaritemska spirala je podal francoski matematik Pierre Varignon (1645–1722)). Pomembna značilnost logaritemskih spiral je, da kot, ki ga tangenta na spiralo v poljubni točki oklepa z radijvektorjem, ostaja konstanten. Tako lahko logaritemske spirale imenujemo tudi enakokotne spirale (Slika 3).

Slika 3: Enakokotna spirala

Poleg Enačbe 1 je za zlato spiralo izpeljanih še več enačb, med njimi je zelo uporabna Sharpova:

 r = \left( {1 + 2k\sin \left( {{{4\phi } \over 3}} \right)} \right)ae^{k\theta }\qquad(4) \!\, ,

kjer je

 k = {{2\ln \phi } \over {3\pi }}\qquad(5) \!\, .

Točka, ki predstavlja začetek zlate spirale (bolje rečeno njeno stekališče), ima koordinati

 S\left( {{{1 + 3\phi } \over 5}e,{{3 - \phi } \over 5}e} \right)\qquad(6) \!\, ,

kjer je e poljubno izbrana enota za višino zlati spirali očrtanega zlatega pravokotnika.

Poleg omenjene konstrukcije zlate spirale znotraj zlatega pravokotnika poznamo še druge, alternativne konstrukcije zlate spirale, denimo v zlatem trikotniku, zlatem petkotniku in podobne. Obstaja še konstrukcija velike zlate spirale s pomočjo tričetrtinskih krožnih lokov na zlatem pravokotniku. To prikazuje Slika 5.

Slika 5:Velika zlata spirala

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]