Cisoida

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
CissoidConstruction.svg

Cisoida je krivulja, ki nastane s pomočjo dveh krivulj C1 in C2 in ene točke O, ki jo imenujemo pol. Naj bo L premica, ki poteka skozi točko O in seka krivuljo C1 v točki P1. Ista premica naj seka krivuljo C2 v točki P2 in krivulja C1 v točki P1. Naj bo točka P2 na premici L tako, da bo veljalo OP = P1P2. Geometrijsko mesto točk P je cisoida krivulj C1 in C2 glede na točko O. Nekateri avtorji uporabljajo drugačne, vendar smiselno enake definicije. Krivuljo cisoido lahko izdelamo tudi na eni ali več krivuljah. Cisoida je posplošitev krivulje z imenom Dioklesova cisoida. Cisoida algebrske krivulje in premice je zopet algebrska krivulja [1].

Ime izvora iz grške besede κισσοείδες kissoeides, kar pomeni oblika bršljana (izhaja iz besede κισσός kissos, kar pomeni bršljan), ter besede -οειδές -oeides, kar pomeni podoben.

Opis[uredi | uredi kodo]

Naj bosta  C_1 \, in  C_2 \, dve krivulji in O naj bo izhodišče. Enačbi za  C_1 \, in  C_2 \, v polarnih koordinatah sta r=f_1(\theta) in r=f_2(\theta).

Enačba

r=f_2(\theta)-f_1(\theta)

v tem primeru opisuje cisoido krivulj  C_1 \, in  C_2 \, glede na izhodišče. Ker pa lahko točko prikažemo v polarnih koordinatah z različnimi enačbami, veljajo za krivuljo  C_1 \, naslednje enačbe

r=-f_1(\theta+\pi),\ r=-f_1(\theta-\pi),\ r=f_1(\theta+2\pi),\ r=f_1(\theta-2\pi),\ \dots.

Če še upoštevamo, da velja r=f_2(\theta)-f_1(\theta), potem lahko napišemo za cisoido

r=f_2(\theta)-f_1(\theta),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi),\
r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi),\ r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi),\ \dots.

Vedno pa se moramo odločiti katera perioda se mora odstraniti zaradi podvojitve.

Primer: Naj bosta krivulji  C_1 \, in  C_2 \, elipsi:

r=\frac{1}{2-\cos \theta}.

Prva veja cisoide je dana z

r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0, kar je izhodišče.

Elipsa je dana tudi z enačbo

r=\frac{-1}{2+\cos \theta}.

Tako za drugo vejo dobimo

r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta}.

Kadar sta krivulji  C_1 \, in  C_2 \, dani v parametrični obliki

x = f_1(p),\ y = px

in

x = f_2(p),\ y = px,

potem je cisoida glede na izhodišče, dana z enačbo

x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px.

Posebni primeri[uredi | uredi kodo]

  • kadar je C1 krožnica s središčem v točki O je cisoida konhoida krivulje C2.
  • kadar pa sta C1 in C2 vzporedni premici, je cisoida tretja premica vzporedna obema premicama

Hiperbole[uredi | uredi kodo]

Naj bosta krivulji  C_1 \, in  C_2 \, dve nevzporedni premici in O naj bo izhodišče. Polarni obliki enačb za  C_1 \, in  C_2 \, sta

r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)}

in

r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)}.

Po preurejanju dobimo za enačbo cisoide v kartezičnem koordinatnem sistemu

x^2-m^2y^2=bx+cy.

To pa je hiperbola, ki poteka skozi izhodišče. Cisoida dveh nevzporednih premic je torej hiperbola, ki vsebuje tudi pol.

Zahradnikove cisoide[uredi | uredi kodo]

Zahradnikova cisoida se imenuje po češkem matematiku Karlu Zahradniku (1848 – 1916). Definirana je kot cisoida stožnice in premice. Zahradnikove cisoide tvorijo celo družino enačb tretje stopnje. Med nje spadajo:

2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)

To je cisoida krožnice (x+a)^2+y^2 = a^2 in premice x={-{a \over 2}} glede na izhodišče.

x(x^2+y^2)+2ay^2=0

To je cisoida krožnice (x+a)^2+y^2 = a^2 in premice x=-2a glede na izhodišče. Ta vrsta krivulje je dala ime vsej družini cisoid. Zaradi tega nekateri tej krivulji pravijo kar cisoida.

y^2(a+x) = x^2(a-x)

To je cisoida krožnice (x+a)^2+y^2 = a^2 in premice x=-2a.

x^3+y^3=3axy

je cisoida elipse x^2-xy+y^2 = -a(x+y) in premice x+y=-a glede na izhodišče.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]