Geometrijsko zaporedje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Skoči na: navigacija, iskanje
Slika kaže geometrično zaporedje 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., ki konvergira k 2, kar nakazuje ploščina pravokotnika

Geometríjsko zaporédje (tudi geométrično zaporédje) je matematično zaporedje, v katerem je količnik dveh zaporednih členov vedno enak - konstanten. Ta količnik po navadi označimo s črko k (količnik) ali mednarodno q (kvocient).

Rekurzivna formula geometrijskega zaporeja je torej enaka:

a_{n}=a_{n-1} \, k \!\, .

Splošna formula za n-ti člen pa je:

a_{n}=a_1 \, k^{n-1} \!\, .

Zgled geometrijskega zaporedja s količnikom 2 in s prvim členom 3 so števila: 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... Splošna formula tega zaporedja je enaka an = 3 · 2n − 1.

Po navadi privzamemo, da je n naravno število, tj. da se geometrijsko zaporedje začne s prvim členom a1. Če začnemo z n = 0, lahko formulo za n-ti člen zapišemo tudi v preprostejši obliki:

a_{n}=a_{0} \, k^{n} \!\, .

Za geometrijsko zaporedje s samimi pozitivnimi členi je značilna naslednja lastnost: Če vzamemo katerekoli tri zaporedne člene, je srednji člen geometrijska sredina svojih sosedov:

a_{n}=\sqrt{a_{n-1} \, a_{n+1}} \!\, .

[uredi] Vsota členov

Vsoto členov geometrijskega zaporedja od vključno prvega do vključno n-tega člena imenujemo tudi končna geometrijska vrsta. Izračunamo jo po formuli:

s_{n}=a_{1} \,\frac{1-k^n}{1-k} \!\, .

Če je število k z intervala (−1, 1), se členi zaporedja po absolutni vrednosti manjšajo proti 0 in v tem primeru obstaja tudi vsota neskončnega števila členov, kar imenujemo tudi vsota neskončne geometrijske vrste:

s=\frac{a_1}{1-k} \!\, .
Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org/wiki/Geometrijsko_zaporedje«