Polinomska lemniskata

$|z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1|=1$

Polinomska lemniskata je ravninska algebrska krivulja s stopnjo $2n \,$ , ki jo dobimo s pomočjo polinoma s kompleksnimi koeficienti stopnje $n \,$ .

Za poljuben polinom $p \,$ in za pozitivno realno število $c \,$ lahko definiramo množico kompleksnih števil $|p(z)| = c$ . To množico števil lahko enačimo s točkami v kartezični ravnini. To pa vodi do algebrske krivulje $f(x, y) = c^2$ , ki ima stopnjo $2n \,$ , kar dobimo z razširitvijo izraza $p(z) \bar p(\bar z)$ kjer je $z = x + iy$ .

Kadar ima polinom $p \,$ stopnjo 1 je krivulja krožnica s središčem v ničli polinoma $p \,$ . Kadar pa je $p \,$ polinom stopnje 2, dobimo Cassinijevo jajčnico.

Erdősova lemniskata [uredi]

Erdősova lemniskata s stopnjo 10 in rodom 6.

Matematik Paul Erdős (1912 – 1996) se je največ ukvarjal z največjo dolžino polinomske lemniskate $f(x, \text { }y) = 1$ s stopnjo $2n \,$ , ko je $p \,$ monični polinom. Ko je $n = 2 \,$ Erdősova lemniskata postane Bernoullijeva lemniskata.

Erdősova lemniskata ima tri n-kratne točke. Rod Erdősove lemniskate je enak $(n - 1)(n-2)/2 \,$ .

Posplošitev polinomske lemniskate [uredi]

V splošnem se polinomska lemniskata sama sebe ne seka v izhodišču. Ima samo dve n-kratni singularnosti ter rod enak $(n - 1)^2$ . Kot realna krivulja lahko ima večje število nepovezanih delov. Krivulja sploh ne izgleda kot običajna lemniskata, zaradi tega izgleda njeno ime napačno.

Zanimiv primer polinomskih lemniskat so Mandelbrotove krivulje. Če postavimo $p_0 = z$ in $p_{n -1}^2 +z$ , potem je pripadajoča polinomska lemniskata definirana z $|p_n(z)| = ER$ konvergira k meji Mandelbrotovi množici. Kadar je ER < 2 so znotraj, če pa je ER≥2 so zunaj Mandelbrotove množice. Mandelbrotove krivulje imajo stopnjo $2^{n +1}$ z dvema $2^n$ -kratnima običajnima večkratnima točkama. Mandelbrotove krivulje imajo rod enak $(2^n -1)^2$ .