Cassinijeva jajčnica

Nekaj Cassinijevih jajčnic. (b=0,6a, 0,8a, a, 1,2a, 1,4a, 1,6a)

Cassinijeva jajčnica (tudi Cassinijev oval in Cassinijeve krivulje) je ravninska krivulja za katero velja, da je geometrijsko mesto točk v ravnini tako, da je zmnožek oddaljenosti od dveh stalnih točk konstanten. Podobno je definirana elipsa, kjer pa je vsota razdalj od dveh stalnih točk konstantna. Te krivulje so posebni primeri polinomskih lemniskat, kjer imajo mnogočleniki stopnjo 2.

Cassinijev jajčnica ima ime po italijansko-francoskem matematiku, astronomu in inženirju Giovanniju Domenicu Cassiniju (1625 – 1712).

Definicija

Naj bosta $q_1$ in $q_2$ stalni fiksni točki in $b$ naj bo konstanta. Cassinijeva jajčnica z gorišči $q_1$ in $q_2$ je definiran kot geometrijsko mesto točk $p$ tako, da je zmnožek razdalj od $p$ do $q_1$ in razdalj od $p$ do $q_2$ enak $b^2$.

Cassinijeva jajčnica v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Cassinijeve jajčnice enaka

$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4.\,$

to pa lahko zapišemo tudi kot

$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4 \,$.

Cassinijeva jajčnica v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba za Cassinijevo jajčnico

$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4.\,$

Oblika krivulje

Oblika krivulje je odvisna od $e = b/a \,$.

• kadar je $e > 1 \,$, dobimo krivuljo s samo eno zanko, ki povezuje obe gorišči.
• kadar je $e < 1 \,$, krivuljo sestavljata dva nepovezana dela, od katerih imata oba svoje gorišče.
• kadar je $e = 1 \,$, dobimo Bernoullijevo lemniskato z dvojno točko (krunodo) v izhodišču.

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Cassinijeva jajčnica na MathWorld (v angleščini)
• Cassinijeva jajčnica na MacTutor (v angleščini)
• Cassinijeva jajčnica na 2dcurves.com (v angleščini)
• Cassinijeva jajčnica na Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)