Potenčna vrsta

Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-a \right)^n = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + a_3 (x-a)^3 + \cdots$

kjer je a_n koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.

V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \!\, .$

Uporaba potenčnih vrst

Potenčne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapis celih števil lahko gledamo kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.

Zgledi potenčnih vrst

Elementarne funkcije

Vsak polinom lahko razvijemo v potenčno vrsto okoli poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom $f(x) = x^2 + 2x +3$ lahko na primer zapišemo kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \!\,$

ali okrog središča $a=1$ kot:

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \!\,$

ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste lahko gledamo kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.

Geometrična vrsta:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1] \!\, ,$

je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,\infty) \!\, .$

Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + 1! x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots, \qquad x \ne 0 \!\, .$

Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je $x^{1/2}$. Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti $a_n$ ne smejo biti odvisni od spremenljivke $x$. Tako na primer vrsta:

$\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \!\,$ ni potenčna vrsta.

Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:

• logaritemski funkciji:

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{\,x^n}{n} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1] \!\, ,$

$\log(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = - \left[x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} +\frac{x^4}{4} + \cdots\right], \qquad |x| \in (-\infty,1] \!\, ,$

• kvadratna korena:

$(1\pm x)^{1/2} = 1 \pm \frac{1}{2} x - \frac{1\cdot 1}{2\cdot 4} x^2 \pm \frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot6} x^3- \frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8} x^4 \pm \cdots, \qquad |x| \in (-\infty,1] \!\, .$

• kotne funkcije:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \pm ..., \qquad |x| \in (-\infty,\infty),$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \pm ..., \qquad |x| \in (-\infty,\infty),$

$\mathrm{tg}\ x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + ... + \frac{2^{2n} \left( 2^{2n}-1 \right) }{(2n)!} B_{n} x^{2n-1} + ..., \qquad |x| \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \!\, .$

Neelementarne funkcije

S potenčnimi vrstami lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvijemo elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:

$\int \frac{e^x}{x} \mathrm{d} x \!\, ,$

ki ni elementaren. Funkcijo $e^x/x$ razvijemo v potenčno vrsto:

$\frac{e^x}{x} = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots \!\, .$

Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in jo lahko integriramo po členih:

$\int_{a}^{x} \frac{e^x}{x} \mathrm{d} x = \log \frac{x}{a} + \frac{x-a}{1!} + \frac{x^2-a^2}{2!2} + \frac{x^3-a^3}{3!3} + \cdots, a \in [0,x] \!\, .$

Konvergenčni polmer

Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a| < r konvergirala in divergirala za |x − a| > r. Število r (tudi označbi R ali $\rho$) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}} \!\, ,$

oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):

$r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}} \!\,$

(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, jo lahko izračunamo kot:

$r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right| \!\, .$

Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:

• $|x-a|<r$ - potenčna vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici {x : |x − a| < r},

• $|x-a|>r$ - potenčna vrsta divergira,

• $|x-a|=r$ - v splošnem ne moremo reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.

Operacije s potenčnimi vrstami

Seštevanje in odštevanje

Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okoli istega središča a, lahko dobimo vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n \!\,$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n \!\, ,$

je enaka:

$f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-a)^n \!\,$

Množenje in deljenje

Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:

$f(x)g(x) = \left[\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n\right]\left[\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right] = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-a)^{i+j} \!\,$

$f(x)g(x) = \sum_{n=0}^\infty \left[\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right] (x-a)^n \!\, .$

Zaporedje $m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ je znano kot konvolucija zaporedja $a_n$ in $b_n$.

Za kvocient imamo:

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-a)^n \!\,$

$f(x) = \left[\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right]\left[\sum_{n=0}^\infty d_n (x-a)^n\right] \!\,$

in uporabimo produkt z upoštevanjem koeficientov.

Odvajanje in integriranje

Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko jo brez težav odvajamo ali integriramo po členih:

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-a \right)^{n-1} \!\,$

$\int f(x)\, \mathrm{d} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-a \right)^{n+1}} {n+1} + C \!\,$

Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.

Zunanje povezave

• Bornemann, Folkmar; Weisstein, Eric Wolfgang, Potenčna vrsta na MathWorld (v angleščini)