Elipsoid

Elipsoid z osmi (a, b, c) = (4, 2, 1)

Elipsoíd je ploskev drugega reda, ki je razširitev pojma elipsa na tri razsežnosti. Enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu je

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 \!\, ,$

kjer so a , b in c ekvatorialni polmeri vzdolž osi x, y in z. Števila a, b in c so pozitivna realna števila, ki določajo obliko elipsoida. Dolžine odsekov, ki jih ploskev določa na pripadajočih koordinatnih oseh (x, y, z), se imenujejo glavne polosi elipsoida. Za števila a , b in c lahko nastopijo naslednji primeri:

• $a=b=c:\,\!$ sfera;
• $a=b>c:\,\!$ sploščen sferoid (oblika diska);
• $a=b<c:\,\!$ podolgovat sferoid (oblika cigare);
• $a>b>c:\,\!$ triosni elipsoid (tri različne polosi).

Kadar sta dve osi enaki, imenujemo nastalo površino sferoid.

Parametrizirana oblika

V sfernem koordinatnem sistemu lahko parametrizirano obliko enačbe elipsoida napišemo kot

$\begin{align} x&=a\,\sin(\theta)\cos(\varphi);\!{\color{white}|}\\ y&=b\,\sin(\theta)\sin(\varphi);\\ z&=c\,\cos(\theta);\end{align}\,\!$

kjer je

${\color{white}+}\!\!\!\theta{\color{white}'}\,\!$ kolatituda ali zenitni kot in ${\color{white}+}\!\!\!\varphi{\color{white}\!\!\!-}\,\!$ dolžina ali azimut:

Kota lahko zavzameta naslednje vrednosti:

$\begin{matrix}0\leq\theta\leq{180}^\circ; \quad{0}\leq\varphi\leq{360}^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!$

Površina

Površine elipsoida ne moremo izračunati z uporabo samo elementarnih funkcij.

Izračunamo jo lahko s pomočjo naslednjega obrazca:

$S = 2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\!\varepsilon,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\!\varepsilon,m)\right),\,\!$

kjer pomeni:

$o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{c}{a}\right)\$ za sploščene elipsoide

$o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{a}{c}\right)\$ za podolgovate elipsoide

kot, ki ga imenujemo kotna izsrednost;

$m=\frac{b^2-c^2}{b^2\sin(o\!\varepsilon)^2}\,\!$

$E(o\!\varepsilon,m)\,\!$ in $F(o\!\varepsilon,m)\,\!$ sta nepopolna eliptična integrala prvega in drugega reda.

Približna vrednost površine se dobi tudi s pomočjo naslednjega obrazca:

$S \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}.\,\!$

kjer nam uporaba vrednosti p ≈ 1,6075 da relativno napako do največ 1,061%. Vrednost p = 8/5 = 1,6 je najboljša za skoraj okrogle elipsoide (z relativno napako okoli 1,178%).

Prostornina

Zaradi nenatančnega izražanja se izraz elipsoid včasih uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev. Prostornino tega telesa izračunamo z obrazcem:

$V = \frac{4}{3}\pi abc.\,\!$

Kadar so vse polosi enake, dobimo prostornino krogle, če sta po dve polosi enaki pa prostornine sferoidov.

Glej tudi

• krogla
• sfera
• sferoid

Zunanje povezave

• Lastnosti elipsoida (v angleščini)
• Animacija (v angleščini)