Elipsoid

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Elipsoid z osmi (a, b, c) = (4, 2, 1)

Elipsoíd je ploskev drugega reda, ki je razširitev pojma elipsa na tri razsežnosti. Enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu je

 {x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 \!\, ,

kjer so a , b in c ekvatorialni polmeri vzdolž osi x, y in z. Števila a, b in c so pozitivna realna števila, ki določajo obliko elipsoida. Dolžine odsekov, ki jih ploskev določa na pripadajočih koordinatnih oseh (x, y, z), se imenujejo glavne polosi elipsoida. Za števila a , b in c lahko nastopijo naslednji primeri:

Kadar sta dve osi enaki, imenujemo nastalo površino sferoid.

Parametrizirana oblika[uredi | uredi kodo]

V sfernem koordinatnem sistemu lahko parametrizirano obliko enačbe elipsoida napišemo kot

\begin{align}
x&=a\,\sin(\theta)\cos(\varphi);\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\sin(\theta)\sin(\varphi);\\
z&=c\,\cos(\theta);\end{align}\,\!

kjer je

{\color{white}+}\!\!\!\theta{\color{white}'}\,\! kolatituda ali zenitni kot in {\color{white}+}\!\!\!\varphi{\color{white}\!\!\!-}\,\! dolžina ali azimut:

Kota lahko zavzameta naslednje vrednosti:

\begin{matrix}0\leq\theta\leq{180}^\circ;
\quad{0}\leq\varphi\leq{360}^\circ;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!

Površina[uredi | uredi kodo]

Površine elipsoida ne moremo izračunati z uporabo samo elementarnih funkcij.

Izračunamo jo lahko s pomočjo naslednjega obrazca:

 S = 2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\!\varepsilon,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\!\varepsilon,m)\right),\,\!

kjer pomeni:

o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{c}{a}\right)\ za sploščene elipsoide
o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{a}{c}\right)\ za podolgovate elipsoide
kot, ki ga imenujemo kotna izsrednost;
m=\frac{b^2-c^2}{b^2\sin(o\!\varepsilon)^2}\,\!
E(o\!\varepsilon,m)\,\! in F(o\!\varepsilon,m)\,\! sta nepopolna eliptična integrala prvega in drugega reda.

Približna vrednost površine se dobi tudi s pomočjo naslednjega obrazca:

 S \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}.\,\!

kjer nam uporaba vrednosti p ≈ 1,6075 da relativno napako do največ 1,061%. Vrednost p = 8/5 = 1,6 je najboljša za skoraj okrogle elipsoide (z relativno napako okoli 1,178%).

Prostornina[uredi | uredi kodo]

Zaradi nenatančnega izražanja se izraz elipsoid včasih uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev. Prostornino tega telesa izračunamo z obrazcem:

 V = \frac{4}{3}\pi abc.\,\!

Kadar so vse polosi enake, dobimo prostornino krogle, če sta po dve polosi enaki pa prostornine sferoidov.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]