Elementarna funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf elementarne funkcije  \textstyle x \mapsto \sqrt{|x|}+1

Elementárna fúnkcija je v matematiki funkcija, ki jo je moč sestaviti iz končnega števila osnovnih elementarnih funkcij, kot so:

konstant, ene spremenljivke in korenov s pomočjo kompozicij in kombinacij s štirimi dvočlenimi elementarnimi operacijami (+ - × ÷). Trigonometrične funkcije in njihovi obrati so elementarne funkcije, kjer nastopajo kompleksne spremenljivke. Vsako elementarno funkcijo lahko podamo z enačbo, naborom končnega števila simbolov z odgovarjajočimi operacijami.

Koreni enačb so funkcije implicitno določeni kot rešitve polinomske enačbe s konstantnimi koeficienti. Za polinome stopnje 4 ali manjše obstajajo točne enačbe za korene, ki so elementarne funkcije. Tudi za polinome večjih stopenj osnovni izrek algebre in izrek o implicitni funkciji zagotavljata obstoj funkcije, ki da vsak koren polinomske enačbe.

Graf neelementarne funkcije - funkcije napake \begin{align}&\textstyle x \mapsto \mathrm{erf}(x)\end{align}

Zgleda drugih elementarnih funkcij sta:

 \frac{e^{\operatorname{tg}\,x }}{1-x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right) \!\, ,

s kompleksnima korenoma ( e^{i}, e^{-i} ) in:

 \,\ln(-x^2) \!\, ,

s kompleksnima korenoma ( i, -i ). Definicijsko območje zadnje funkcije ne vsebuje nobenega realnega števila. Zgled funkcije, ki ni elementarna, je funkcija napake:

 \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d} t \!\, .

Dejstvo, da je ta funkcija neelementarna, ni neposredno razvidno iz njene opredelitve - lahko pa se pokaže s pomočjo Rischevega algoritma.

Elementarne funkcije je v splošnem uvedel Joseph Liouville v nizu člankov med letoma 1833 in 1841. Algebrsko obravnavo elementarnih funkcij je začel Joseph Fels Ritt v 30-tih 20. stoletja. Liouville je pri raziskovanju funkcij kompleksnih spremenljivk opredelil elementarne funkcije nekoliko širše.

Diferencialna algebra[uredi | uredi kodo]

Matematično definicijo elementarane funkcije, oziroma funkcije v elementarni obliki, obravnava diferencialna algebra. Diferencialna algebra je algebra z dodatno operacijo odvajanja (algebrsko različico odvoda). S pomočjo te operacije je moč zapisati nove enačbe in njihove rešitve v razširitvi algebre. K obsegu racionalnih funkcij se lahko dodata dva posebna tipa transcendentnih razširitev (logaritemski in eksponentni), ki vsebujeta elementarne funkcije.

Diferencialni obseg F je obseg F0 (na primer racionalne funkcije nad množico racionalnih števil Q) skupaj z diferencialno preslikavo u → ∂u. (Tukaj je ∂u nova funkcija. Včasih se uporablja zapis u ′.) Operacija obseže lastnosti odvajanja, tako da je za dva elementa osnovnega obsega, linearna:

\partial (u + v) = \partial u + \partial v \!\,

in zanjo velja Leibnizevo pravilo produkta:

\partial(u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot\partial v \!\, .

Element h je konstanta, če je ∂h = 0. Če je osnovni obseg obseg racionalnih števil, je treba biti previden pri njegovi razširitvi z ustreznimi transcendentnimi konstantami.

Funkcija u diferencialne razširitve F[u] diferencialnega obsega F je elementarna funkcija nad F , če je u:

  • algebrska nad F, ali je
  • eksponentna, da velja: ∂u = ua za aF, ali je
  • logaritemska, da velja: ∂u = ∂a / a za aF.

(to je Liouvilleov izrek).