Sferoid

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
OblateSpheroid.PNG
ProlateSpheroid.png
sploščen sferoid podolgovat sferoid
Nastanek sploščenega sfreroida. Elipsa se vrti okoli krajše osi.

Sferoid je ploskev drugega reda, ki jo dobimo z vrtenjem elipse okoli ene izmed njenih glavnih (velika in mala os) osi. Pri takem vrtenju elipse lahko nastanejo tri različne površine:

Sferoid lahko definiramo tudi kot posebno obliko elipsoida, ki ima dve ekvatorialni polosi enaki (lahko tudi vse tri). Splošna oblika enačbe elipsoida v kartezičnem koordinatnem sistemu je:

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

Sferoid pa dobimo, če sta dve ekvatorialni osi enaki: na primer ax = ay = a. Takšen elipsoid je potem določen z enačbo:

\frac{x^2}{{a_x}^2}+\frac{y^2}{{a_y}^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.\,\!

Kadar pa so enake vse tri osi, dobimo sfero.

Zaradi nedosledneosti pri izražanju se izraz sferoid uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev. To telo je množica točk, za katere velja:

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}\leqslant1

Površina[uredi | uredi kodo]

Za sploščeni sferoid izračunamo površino na naslednji način:

P=2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)\right)

ali

P=\pi\left(2 a^2 + \frac{b^2}{e} \ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right) \right).

Za podolgovati sferoid izračunamo površino po obrazcu :

P=2\pi a\left(a + \frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\right)

ali

P=2 \pi b (b + a \frac{\arcsin e}{e})

kjer je e numerična izsrednost elipse

e=\sqrt{1-(b^2/a^2)}.

Prostornina[uredi | uredi kodo]

Prostornina sploščenega sferoida (telesa):

V=\frac{4}{3}\pi a^2 b

Prostornina podolgovatega sferoida :

V=\frac{4}{3}\pi a b^2

Prehod na prostornino krogle je zelo enostaven (a = b):

V=\frac{4}{3}\pi a^3

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]