Sfera

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Osenčena sfera
Sfera predstavljena z mrežo kot ortogonalno projekcijo
Ena od najbolj popolnih sfer, ki jih je kdajkoli naredil človek. Kremenov giroskop za preskus z gravitacijsko sondo, ki se razlikuje od popolne sfere le za debelino 40 atomov, odbija Einsteinovo sliko v ozadju. Verjamejo, da so le nevtronske zvezde še bolj gladke.

Sfêra je v matematiki površje krogle, torej dvorazsežna mnogoterost (ploskev), vložena v trirazsežni prostor. Grobo rečeno si lahko sfero predstavljamo kot milni mehurček ali žogo, torej kot nekaj votlega.

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Še točneje je sfera množica točk v trirazsežnem evklidskem prostoru, ki ležijo na razdalji r od nepomične točke tega prostora. r je pozitivno realno število, ki se imenuje polmer dane sfere. V posebnem primeru r = 1 se takšna sfera imenuje enotska sfera.

V koordinatni geometriji je sfera s središčem (x0y0z0) in polmerom r množica vseh takšnih točk (x,y,z), da velja

 (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2 \,

Točke na sferi s polmerom r in središčem v izhodišču lahko parametriziramo s tremi enačbami

 x = r \sin \theta \; \cos \phi
 y = r \sin \theta \; \sin \phi  \qquad (0 < \theta < \pi \mbox{ in } 0 < \phi < 2\pi) \,
 z = r \cos \theta  \,

(glej trigonometrične funkcije in krogelne koordinate).

Sfero s poljubnim polmerom in središčem v izhodišču opišemo z diferencialno enačbo:

 x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Površina sfere s polmerom r je 4πr2, prostornina krogle, ki jo določa, pa 4πr3/3. Krogla ima med vsemi ploskvami, ki ograjujejo dano prostornino, najmanjšo površino, in med vsemi zaprtimi ploskvami z danimi površinami zasede največjo prostornino. Zaradi tega se velikokrat pojavlja v naravi. Mehurčki in vodne kapljice v breztežnostnem prostoru zavzamejo obliko krogel, ker površinska napetost skuša zmanjšati njihovo površino.

Opisan valj dani krogli ima prostornino enako 3/2 prostornine krogle in površino 3/2 površine krogle. To dejstvo in zgornje enačbe za prostornino in površino je poznal že Arhimed.

Sfero lahko opredelimo tudi kot ploskev, ki nastane z vrtenjem kroga ali polkroga okrog svojega premera. Če krožnico nadomestimo z elipso, nastane sferoid, oziroma rotacijski elipsoid. Takšno obliko sploščenega sferoida ima Zemlja v dovolj dobrem približku. Njena še točnejša oblika se imenuje geoid.

Posplošitev v višje razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Krogle lahko posplošimo v druge razsežnosti. Za poljubno naravno število n je n-sfera množica točk v (n+1)-razsežnem evklidskem prostoru, ki ležijo na razdalji r od nepomične točke tega prostora, kjer je r kakor prej pozitivno realno število.

  • 0-sfera je par točk (-r, r),
  • 1-sfera je krožnica s polmerom r,
  • 2-sfera je navadna sfera
  • 3-sfera je sfera v štirirazsežnem evklidskem prostoru.

Sfere za n > 2 včasih imenujemo hipersfere. n-sfera z enotskim polmerom in središčem v izhodišču se označuje Sn.

n-sfera je zgled kompaktne n-mnogoterosti.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]