Diferencialna enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diferenciálna enáčba je v matematiki enačba neznane funkcije ene ali več spremenljivk, ki povezuje njene vrednosti z njenimi prvimi ali višjimi odvodi. Diferencialne enačbe so poleg matematike pomembne na različnih področjih, na primer v tehniki, fiziki, kemiji, astronomiji, biologiji ali ekonomiji. Pojavljajo se v znanosti in tehnologiji, kadar je znana ali predpostavljena deterministična povezava med nekaterimi zvezno spremenljivimi količinami, opisanimi s funkcijami, in njihovimi hitrostmi sprememb, izraženimi z odvodi.

Predstavitev prenosa toplote v ohišju črpalke z rešitvijo enačbe prevajanja toplote in s pomočjo MKE. Toplota nastaja znotraj ohišja, na meji pa se njena velikost zmanjšuje, kar omogoča toplotno ravnovesno stanje porazdelitve temperature.

V klasični mehaniki gibanje telesa časovno opišemo z njegovo lego in hitrostjo. Newtonovi zakoni gibanja omogočajo povezavo med lego, hitrostjo, pospeškom in različnimi silami, ki delujejo na telo, in izražajo to povezavo v obliki diferencialne enačbe za neznano lego telesa kot funkcijo časa. V mnogo primerih lahko to diferencialno enačbo rešimo eksplicitno, kar vodi do zakona o gibanju.

Zgled modeliranja problema iz stvarnega sveta je določitev hitrost padanja krogle skozi zrak ob upoštevanju gravitacije in zračnega upora. Pospešek krogle proti tlem je težni pospešek zmanjšan za pojemanje zaradi zračnega upora. Gravitacija je konstantna, zračni upor pa je sorazmeren s hitrostjo krogle. To pomeni da je pospešek krogle, ki je odvod njene hitrosti, odvisen od hitrosti. Iskanje hitrosti kot funkcije časa zahteva rešitev diferencialne enačbe.

Diferencialne enačbe se matematično raziskujejo z več različnih zornih kotov. Pri tem so najbolj pomembne njihove rešitve, funkcije za katero enačbe veljajo. Rešitve z eksplicitnimi zvezami obstajajo le za najpreprostejše diferencialne enačbe. Mnogo značilnosti rešitev dane diferencialne enačbe lahko določimo brez da bi poiskali njeno točno obliko. Če za rešitev sklenjena formula ne obstaja, lahko dobimo rešitev z numeričnim približkom s pomočjo računalnika. Teorija dinamičnih sistemov poudarja kakovostno analizo sistemov, ki jih opisujejo diferencialne enačbe, razvili pa so mnogo numeričnih metod za določevanje rešitev z dano stopnjo točnosti.

Smeri raziskovanja[uredi | uredi kodo]

Raziskovanje diferencialnih enačb je široko področje v čisti in uporabni matematiki, fiziki in tehniki. Vse te discipline se ukvarjajo z značilnostmi različnih diferencialnih enačb. Čista matematika se osredotoča na obstoj in edinstvenost rešitev, uporabna matematika pa poudarja razloge za rabo metod s približnimi rešitvami. Z diferencialnimi enačbami se modelirajo praktično vsi fizikalni, tehnični ali biološki procesi, od gibanj v nebesni mehaniki do konstruiranja mostov ali medsebojnih vplivov med nevroni. Diferencialne enačbe, ki se uporabljajo pri reševanju problemov iz stvarnega življenja, niso nujno neposredno rešljive - nimajo sklenjenih rešitev. Namesto sklenjenih se lahko vzamejo približne numerične rešitve.

Raziskujejo se tudi posplošene rešitve (na podlagi šibkih odvodov), vrsta rešitev, ki niso nujno povsod odvedljive. Ta razširitev je velikokrat potrebna za obstoj rešitve in je tudi posledica bolj fizikalno smiselnih značilnosti ali rešitev, kot na primer možna prisotnost udarov za enačbe hiperboličnega tipa.

Raziskovanje stabilnosti rešitev diferencialnih enačbe obravnava teorija stabilnosti.

Izrazje[uredi | uredi kodo]

Teorija diferencialnih enačb je zelo razvita, metode, ki se uporabljajo za njihovo reševanje, pa se precej razlikujejo, kar je odvisno od vrste enačbe.

  • navadna diferencialna enačba (NDE) je diferencialna enačba v kateri je neznana funkcija (oziroma odvisna spremenljivka) funkcija ene neodvisne spremenljivke. V najpreprostejši obliki je neznana funkcija skalarna funkcija z realnimi ali kompleksnimi vrednostmi, še bolj splošno pa ima lahko vektorske ali matrične vrednosti - to odgovarja upoštevanju sistema navadnih diferencialnih enačb za eno funkcijo. Navadne diferencialne enačbe se še naprej razvrščajo glede na red najvišjega odvoda odvisne spremenljivke, ki nastopa v enačbi.
Enačba:
 \frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d}x^{2}} + x^{3} + xu = 0 \!\,
je enačba 2. reda.

Najpomembnejše vrste v uporabi so diferencialne enačbe 1. in 2. reda. Razlikujejo se tudi diferencialne enačbe eksplicitno rešljive glede na najvišji odvod in v implicitni obliki.

  • parcialna diferencialna enačba (PDE) je diferencialna enačba v kateri je neznana funkcija funkcija več neodvisnih spremenljivk in v njej nastopajo parcialni odvodi. Red je določen podobno kot pri navadnih diferencialnih enačbah. Posebej pri linearnih parcialnih enačbah 2. reda se enačbe še naprej razvrščajo v enačbe eliptičnega, hiperboličnega in paraboličnega tipa. Nekatere parcialne enačbe ne spadajo v nobeno od teh kategorij čez celotno domeno neodvisnih spremenljivk in so enačbe mešanega tipa.

Navadne in parcialne diferencialne enačbe so lahko linearne ali nelinearne. Diferencialna enačba je linearna, če imata neznana funkcija in njeni odvodi stopnjo 1 (produkti funkcije in njenih odvodov niso dovoljeni), drugače je nelinearna. Enačba:

 a\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d}x^{2}} + b\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x} + cu + d = 0 \!\,

je linearna enačba 2. reda (prve stopnje). Enačba:

 a\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d}x^{2}} + bu^{3} + cxu + d = 0 \!\,

pa je (nelinearna) enačba 2. reda tretje stopnje. Značilna značilnost linearnih enačb je, da njihove rešitve tvorijo afini podprostor ustreznega funkcijskega prostora, od koder sledi veliko bolj razvita teorija linearnih diferencialnih enačb.

Homogene linearne diferencialne enačbe so nadaljnji podrazred za katerega je prostor rešitev linearni podprostor. Te enačbe nimajo perturbacijskih členov. Perturbacijski člen diferencialne enačbe je člen, ki določa motnje, in ne vsebuje niti funkcije u niti njenih odvodov \mathrm{d}u/\mathrm{d}x, \cdots , \mathrm{d}^{n}/\mathrm{d}x^{n}.[1]:569 Nehomogena diferencialna enačba vsebuje od nič različne perturbacijske člene. Koeficienti neznane funkcije in njenih odvodov v linearni diferencialni enačbi so lahko (znane) funkcije odvisne spremenljivke ali spremenljivk. Če so ti koeficienti konstantni, je enačba linearna diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti.

Obstaja zelo malo metod za eksplicitno reševanje nelinearnih diferencialnih enačb, in te izkoriščajo njihove simetrije. Nelinerne diferencialne enačbe se lahko vedejo zelo zapleteno v razširjenih časovnih intervalih, kar je značilno za kaos. Čeprav so osnovna vprašanja o obstoju, enoličnosti in razširljivosti rešitev nelinearnih diferencialnih enačb, ter dobri zastavljenosti začetnih in robnih pogojev nelinearnih PDE težki problemi, so njihove rešitve v posebnih primerih velik napredek teoretične matematike (glej npr. obstoj in gladkost rešitev Navier-Stokesovih enačb).

Linearne diferencialne enačbe so velikokrat približki nelinearnih enačb. Veljajo le pod nekaterimi omejenimi pogoji. Enačba harmoničnega oscilatorja je na primer približek nelinearne enačbe nihala, ki velja za nihanja z malimi amplitudami.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Navadne diferencialne enačbe[uredi | uredi kodo]

V zgledih je u neznana skalarna funkcija spremenljivke x (u(x)), \mathrm{d}u(x)/\mathrm{d}x njen prvi odvod, \mathrm{d}^{2} u(x)/\mathrm{d}x^{2} njen drugi odvod, a, b, k, ω pa znane konstante (lahko tudi odvisne od drugih konstant, na primer k=c/m, kjer je c snovna konstanta (npr. vzmeti), m pa masa.) Velikokrat je spremenljivka x čas, označena s t.

  • Homogena linearna navadna diferencialna enačba 1. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + ku(x) = 0 \!\, (jedrski razpad radioaktivnega izotopa 14C).
  • Nehomogena linearna navadna diferencialna enačba 1. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + k = 0 \!\, ,
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + k(u + \omega) = 0 \!\, ,
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} - ku(x) = 0 \!\, (Malthusov model rasti),
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} - ku(x) - x^{2} = 0 \!\, ,
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + u(x) - e^{x} = 0 \!\, .
  • Nehomogena nelinearna navadna diferencialna enačba 1. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} - u(x)^{2} - 1 = 0 \!\, .
  • Homogena linearna navadna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + k u(x) = 0 \!\, (enorazsežni harmonični oscilator),
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + \omega^{2}u(x) = 0 \!\, (harmonični oscilator),
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + 2k \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + u(x) = 0 \!\, (splošna enačba harmoničnega oscilatorja),
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + 2k \omega\frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + \omega^{2} u(x) = 0 \!\, (dušeni harmonični oscilator),
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} - x u(x) = 0 \!\, , (Airyjeva enačba, k^ {2}=1\, )
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} \pm k^{2} x u(x) = 0 \!\, , (splošna Airyjeva enačba)
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} - x \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + u(x) = 0 \!\, .
 x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + x \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} - (x^{2} + k^{2}) u(x) = 0 \!\, .
  • Homogena linearna navadna diferencialna enačba 2. reda:
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + k(x) \frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} + \omega^{2}(x) u(x) = 0 \!\, (parametrični oscilator),
  • Nehomogena linearna navadna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + g = 0 \!\, (prosti pad brez zračnega upora),
 x(1-x)\frac {\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + \left[k-(a+b+1)x \right] \frac {\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} - ab u(x) = 0 \!\, ,
  • Homogena nelinearna navadna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti:
 J_{\zeta} \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d}x^{2}} + mgl \sin u(x) = 0 \!\, (splošna enačba nihala),
   \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + \omega^{2} \sin u(x) = 0 \!\, (težno nihalo),
 l \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} + g \sin u(x) = 0 \!\, (gibanje nitnega nihala z dolžino l).
  • Nehomogena nelinearna navadna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti:
 m \frac{\mathrm{d}^{2} u(x)}{\mathrm{d} x^{2}} - k \left(\frac{\mathrm{d} u(x)}{\mathrm{d} x} \right)^{2} + mg = 0 \!\, (prosti pad s kvadratnim zakonom zračnega upora).

Parcialne diferencialne enačbe[uredi | uredi kodo]

V naslednji skupini zgledov je neznana funkcija u odvisna od dveh spremenljivk x in t (u(x,t)) ali x in y (u(x,y)), ali od treh x, y in z (u(x,y,z)).

  • Homogena linearna parcialna diferencialna enačba 1. reda s konstantnimi koeficienti:
 \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + t \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0 \!\, .
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - k \frac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial {x}^2} = 0, \quad \left( \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - k \nabla^{2} u(x,t) = 0 \right) \!\, .
  • Homogena linearna parcialna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti hiperboličnega tipa (valovna enačba v eni prostorski razsežnosti):
 \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - k^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0, \quad \left( \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - k^{2} \nabla^{2} u = 0, \quad  \square u = 0 \right) \!\, .
 LC \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (LG + RC) \frac{\partial u}{\partial t} + RG u = 0 \!\, ,
 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0, \quad \left( \nabla^{2} u = 0 \right) \!\, .
  • Homogena linearna parcialna diferencialna enačba 2. reda s konstantnimi koeficienti paraboličnega tipa (difuzijska enačba v dveh prostorskih razsežnostih):
\frac{\partial u}{\partial t} - k\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial {x}^2}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \right) = 0, \quad \left( \frac{\partial u}{\partial t} - k \nabla^{2} u = 0 \right) \!\, .
 \frac{\partial u}{\partial t} - 6u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} = 0 \!\, .
  • Homogena linearna parcialna diferencialna enačba 4. reda s konstantnimi koeficienti (biharmonična enačba v treh prostorskih razsežnostih):
 \frac{\partial u^{4}}{\partial x^{4}} + \frac{\partial u^{4}}{\partial y^{4}} + \frac{\partial u^{4}}{\partial z^{4}} + 2 \frac{\partial u^{4}}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2 \frac{\partial u^{4}}{\partial y^{2} \partial y^{z}} + 2 \frac{\partial u^{4}}{\partial x^{2} \partial z^{2}} = 0, \quad \left( \nabla^{4} u = 0 \right) \!\, .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Stöcker (2006), §18, str. 569.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]