Metoda končnih elementov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Dvorazsežna rešitev MKE za magnetostatično stanje (krivulje označujejo smer izračunane gostote toka, barve pa njeno jakost)
Dvorazsežna mreža za zgornjo sliko (pri pomembnih elementih je mreža gostejša)

Metóda kônčnih elemêntov (MKE; angleško finite element method (FEM)) je numerična tehnika za iskanje približnih rešitev parcialnih diferencialnih enačb (PDE) kot tudi integralskih enačb. Pristop reševanja temelji ali na popolni odpravi diferencialne enačbe (problemi enoličnih stanj) ali z zapisom PDE s približnim sistemom navadnih diferencialnih enačb, ki se potem reši s standardnimi postopki kot sta na primer Eulerjeva metoda, Runge-Kuttova metoda ipd.

Pri reševanju parcialnih diferencialnih enačb je glavni izziv izdelava enačbe, ki aproksimira iskano enačbo, vendar je numerično stabilna, kar pomeni da se napake vhodnih podatkov in vmesni izračuni ne nabirajo in povzročajo rezultate brez pomena. Obstaja več različnih načinov za to, vsak s svojimi prednostmi in slabostmi. MKE je dobra izbira za reševanje PDE zapletenih problemov (npr. v avtomobilski industrija ali pri naftnih cevovodih), ko se pričakovana natančnost spreminja po vsem obravnavanjem območju, ali če rešitev ni dovolj gladka. Pri računalniških simulacijah čelnih trkov je na primer možno povečati pričakovano natančnost v »pomembnih« območjih, kot je sprednji del avtomobila, in jo zmanjšati v zadnjem delu, ter tako zmanjšati ceno simulacije. Drug zgled je na primer simulacija vremenskih vzorcev na Zemlji, kjer so točne napovedi nad kopnim pomembnejše od napovedi nad odprtimi morji.

Razvoj MKE[uredi | uredi kodo]

Metoda končnih elementov[1] izhaja iz potreb za reševanje zapletenih problemov o prožnosti (elastičnosti), strukturni analizi v gradbeništvu in letalski industriji. Njenemu razvoju lahko sledimo do del Alexandra Hrennikoffa (1941) in Richarda Couranta (1942). Čeprav se njuna pristopa precej razlikujeta, imata skupno lastnost: mrežno diskretizacijo zveznega območja na množico diskretnih podpodročij, po navadi imenovanih elemnti.[2]

Hrennikoffov je diskretitziral območje s pomočjo analogije z rešetko, Courant pa je razdelil območje v končna trikotniška podpodročja za rešitev eliptičnih PDE 2. stopnje, ki izhajajo iz problema o vzvoju (torziji) valja.[3]. Courantov pristop je bil velik korak predhodnim raziskavam razvoja PDE lorda Rayleigha, Ritza in Galjorkina.

Razvoj MKE se je začel v poznih 1950-tih za letalska ogrodja in strukturno analizo, ter dobil zagon na Univerzi v Stuttgartu prek dela Johna Argyrisa in na Univerzi Kalifornije v Berkeleyju z delom Rayja Clougha v 1960-tih pri gradbeniških problemih.[4] Do poznih 1950-tih so razvili glavne poteze trdnostne matrike in sestavo elementov do takšne oblike, ki se uporablja danes.[5] NASA je leta 1965 podala željo za predloge razvoja programa NASTRAN. Strogo matematično osnovo za metodo sta leta 1973 pripravila matematika Strang in Fix v svojem delu Analiza metode končnih elementov (An Analysis of The Finite Element Method).[6] Metodo so od tedaj posplošili na področja uporabne matematike za numerično modeliranje fizikalnih sistemov v različnih področjih tehnike, na primer: v elektrodinamiki, dinamiki tekočin, teoriji preoblikovanja ipd.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Ciarlet, Phillippe G. (1978). The Finite Element Method for Elliptic Problems. Amsterdam: North-Holland. 
  2. ^ Waterman, Pamela J. (2008-08-01). "Meshing: the Critical Bridge". Desktop Engineering Magazine. 
  3. ^ Courant, Richard L. (1943). "Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibration". Bulletin of the American Mathematical Society 49: 1–23. 
  4. ^ Clough, Ray W.; Edward L. Wilson. "Early Finite Element Research at Berkeley" (PDF) (v angleščini). Pridobljeno dne 2008-09-11. 
  5. ^ Turner, M.J.; R.W. Clough, H.C. Martin in L.C. Topp (1956). "Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures". Journal of the Aeronautical Sciences 23: 805–82. 
  6. ^ Strang, Gilbert; Fix, George (1973). An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. 

Glej tudi[uredi | uredi kodo]