Besslova funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:

 x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d} x^{2}} + x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+\left( x-\nu \right) y=0 \!\, .

Besslove funkcije je prvi definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Wilhelmu Besslu.

Uporabnost Besslovih funkcij[uredi | uredi kodo]

Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:

Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.

Besslove funkcije J_{\nu } in Y_{\nu }[uredi | uredi kodo]

Graf Besslove funkcije prve vrste za red ν = 0,1,2.

Besslova funkcija prve vrste reda \nu se izračuna kot:

 J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)}

Če \nu ni celo število, funkciji J_{\nu }\left( x\right) in J_{-\nu }\left( x\right) nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:

 y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right)

Kjer sta c_{1} in c_{2} odvisna od začetnih pogojev.

Če je \nu celo število, se izkaže, da sta funkciji J_{\nu }\left( x\right) in J_{-\nu }\left( x\right) linearno odvisni, saj velja:

 J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right)
Graf Besslove funkcije druge vrste za red ν = 0,1,2.

V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda \nu, ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:

 Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) }

V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni \nu enaka:

 y\left( x\right) =c_{1}  J_{\nu }\left( x\right) +c_{2}  Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]