Harmonična funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Harmonična funkcija f je funkcija, za katero velja, Laplaceova diferencialna enačba: Δf = 0. S pomočjo operatorja nabla Laplaceovo diferencialno enačbo zapišemo kot Δf = ∇∇f = 0.

Kompleksni prostor: Če kompleksno spremenljivko z zapišemo v obliki z = x + i*y, lahko funkcijo kompleksne spremenljivke f(z) zapišemo s pomočjo realnega in imaginarnega dela: f = u(x,y) + i*v(x,y), pri čemer sta u in v realni funkciji dveh spremenljivk. Če je funkcija f analitična (odvedljiva v z0 in neki okolici δ), zanjo veljata Cauchy-Riemannovi enačbi ∂u/∂x = ∂v/∂y in ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Če parcialno odvajamo prvo enakost po x, drugo pa po y in seštejemo, dobimo:

  • Δu = ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0

Če parcialno odvajamo prvo enačbo po y, drugo pa po x in odštejemo, dobimo:

  • Δv = ∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2 = 0

To pomeni, da za analitično funkcijo kompleksne spremenljivke velja, da sta njen realni in imaginarni del harmonični funkciji. Imenujemo ju konjugiran par harmoničnih funkcij.