Poissonova enačba

Poissonova enáčba [poasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je v matematiki parcialna diferencialna enačba 2. reda

$\nabla^{2} \phi (\vec\mathbf{r}) \equiv \nabla \cdot ( \nabla \phi (\vec\mathbf{r}) ) = \rho (\vec\mathbf{r}) \!\, ,$

kjer je $\nabla^{2}$ Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice $\mathbb{R}^{n}$ (mnogoterosti).

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo:

$\nabla^{2} \phi = 0 \!\, .$

Poissonova enačba se zapisuje tudi v obliki:

$\Delta \phi (\vec\mathbf{r}) = \rho (\vec\mathbf{r}) \!\, ,$

običajno kadar mnogoterost ni evklidski prostor.

Značilnosti

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za $\nabla^2\phi_1=\rho_1$ in $\nabla^2\phi_2=\rho_2$ sledi $\nabla^2(\phi_1+\phi_2)=\rho_1+\rho_2$. To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

V trirazsežnih kartezičnih koordinatah ima obliko:

$\left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \right)\phi (x,y,z) = \rho(x,y,z) \!\, .$

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Enačba se veliko uporablja v elektrostatiki, strojništvu ali v teoretični fiziki.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρ_e:

$\nabla^{2} \Psi = { \rho_{e}\over \varepsilon\varepsilon_{0} } \!\, .$

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

$\nabla^{2} \phi = \rho (x,y,z) \!\, .$

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v $\vec\mathbb{R}^{3}$. Ko se točka oddalji v neskončnost ($\vert \vec\mathbf r\vert\to\infty$) je $\phi(\vec\mathbf r)\to 0$. Splošna rešitev je Newtonov potencial:

$\phi(\vec\mathbf r) = - \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(\vec\mathbf{r'})}{\vert \vec\mathbf{r}- \vec\mathbf{r'}\vert}\mathrm{d}^3 \vec\mathbf{r'} \!\,$

Zgledi

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Laplaceova in Poissonova enačba sta najpreprostejša primera eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.

Newtonska gravitacija

V primeru gravitacijskega polja g zaradi privlačne sile masivnega telesa z gostoto ρ lahko za ustrezno Poissonovo enačbo za gravitacijo uporabimo Gaussov gravitacijski zakon v diferencialni obliki:

$\nabla\cdot\vec\mathbf{g} = -4\pi \kappa\rho \!\, .$

Ker je gravitacijsko polje konservativno, ga lahko izrazimo s skalarnim potencialom Φ (gradient skalarnega potenciala - gravitacijski potencial):

$\vec\mathbf{g} = -\nabla\Phi \!\, .$

Če vstavimo v Gaussov gravitacijski zakon:

$\nabla\cdot(-\nabla \Phi) = - 4\pi \kappa \rho \!\, ,$

dobimo Poissonovo enačbo za gravitacijo:

${\nabla}^{2} \Phi = 4\pi \kappa \rho \!\, .$

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

$\square^{2} \phi_{\mu\nu} = \rho (ct,x,y,z) \!\, .$

Takšne probleme rešuje splošna teorija relativnosti, ki gravitacijsko polje obravnava z značilnostmi prostor-časa.

Elektrostatika

Eden od temeljev elektrostatike so problemi in njihove rešitve, ki jih opisuje Poissonova enačba. Iskanje φ za dano ρ je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno poiščemo električni potencial za dano porazdelitev naboja.

Po Gaussovem zakonu o električnem pretoku imamo:

$\nabla \cdot \vec\mathbf{D} = \rho_{e} \!\, ,$

kjer je:

$\mathbf{\nabla} \cdot \,$ operator divergence nabla,

$\vec\mathbf{D} \,$ gostota električnega polja,

$\rho_{e} \,$ gostota prostega naboja, (ki opisuje delež naboja od zunaj).

Če privzamemmo da je snov linearna, izotropna in homogena, velja:

$\vec\mathbf{D} = \varepsilon \vec\mathbf{E} \!\, ,$

kjer je:

$\varepsilon \,$ dielektričnost snovi,

$\vec\mathbf{E} \,$ jakost električnega polja.

Z zamenjavo in deljenjem imamo:

$\nabla \cdot \vec\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon} \!\, .$

V odstotnosti spremenljivega magnetnega polja $\vec\mathbf{B}$ Faradayjev indukcijski zakon da:

$\nabla \times \vec\mathbf{E} = -\dfrac{\partial \vec\mathbf{B}} {\partial t} = 0 \!\, ,$

pri čemer je:

$\nabla \times \,$ operator rotorja,

$t \,$ čas.

Ker je rotor jakosti električnega polja enak 0, ga določa skalarno električno potencialno polje $\varphi$ (glej Helmholtzova dekompozicija).

$\vec\mathbf{E} = - \nabla \phi \!\, .$

Z zamenjavo izločimo $\vec\mathbf{E}$ in dobimo obliko Poissonove enačbe:

$\nabla \cdot \nabla \phi = {\nabla}^{2} \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon} \!\, .$

Pri reševanju Poissonove enačbe za potencial moramo poznati porazdelitev gostote naboja. Če je gostota naboja enaka 0, sledi Laplaceova enačba. Če za gostoto naboja velja Boltzmannova porazdelitev, sledi Poisson-Boltzmannova enačba. Slednja igra vlogo pri razvoju Debye-Hücklova teorije razredčenih elektrolitskih raztopin.

Čeprav je zgoraj privzeto, da se magnetno polje ne spreminja s časom, dobimo enako Poissonovo enačbo, če je s časom spremenljivo, vse dokler uporabljamo Coulombovo umeritev. V tako široki sliki računanje $\phi$ ni več dovolj za izračun $\vec\mathbf{E}$, saj je jakost električnega polja odvisna tudi od magnetnega vektorskega potenciala, ki ga je treba izračunati posebej.

Potencial normalno porazdeljene gostote naboja

Če je gostota naboja $\rho(r)$ normalno porazdezdeljena sferno in simetrično

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^{3}\sqrt{2\pi}^{3}}\,e^{-r^2/(2\sigma^{2})} \!\, ,$

kjer je Q celotni naboj, je rešitev Poissonove enačbe φ (r):

${\nabla}^2 \phi = - \frac{ \rho }{ \varepsilon } \!\,$

dana z:

$\phi(r) = \frac{ 1 }{ 4 \pi \varepsilon } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right) \!\, ,$

kjer je erf(x) funkcija napake. To rešitev lahko preverimo eksplicitno s pazljivim ročnim izračunavanjem ${\nabla}^2 \phi$. Pri tem se za r, veliko večji od σ, vrednost erf(x) približuje enoti, vrednost potenciala φ (r) pa točkasto nabitemu potencialu $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}$, kot bi pričakovali. Poleg tega se vrednost funkcije napake približuje 1 zelo hitro, če se ji povečuje argument. Praktično je za r > 3σ relativna napaka manjša od 1/1000.

Glej tudi

• difuzijska enačba
• Helmholtzova diferencialna enačba
• nezvezna Poissonova enačba

Zunanje povezave

• Poissonova enačba na PlanetMath (v angleščini)

Članek je dopolnjen s člankom iz PlanetMath.org