Psevdosfera

Psevdosfera je izraz, ki se v geometriji uporablja za ploskve s konstantno negativno Gaussovo ukrivljenostjo. Lahko se nanaša na teoretske ploskve z negativno ukrivljenostjo, na traktrikoide ali na hiperboloide.

Parametrična oblika enačbe

Kartezična parametrična oblika enačbe ploskve, ki nastane z vrtenjem traktrise okoli asimptote, je

$x = \operatorname{sech}\text { } u \text { }\cos\text { } v$

$y = \operatorname{sech}\text { } u\text { } \sin \text { }v$

$z = u - \operatorname{tanh} \text { } u$

kjer je

• $u ~\epsilon~ (- \infty, ~\infty)$
• $v ~ \epsilon ~[0, ~2 \pi)$

Enačbo lahko zapišemo tudi v implicitni oliki v kartezičnih koordinatah

$z^2 = [a \cdot \operatorname{sech}^{-1} \sqrt {\frac {x^2 + y^2} {a}} - \sqrt {a^2 -x^2-y^2} ]^2$.

Površina

Površina je enaka

$P = 2 \int\limits _{0}^{2 \pi} \int_ {0}^ {\infty} \operatorname {sech} \text { }u \text { }\operatorname {tanh} \text { }u \text { }du \text { }dv = 4 \pi$.

Prostornina

Prostornina je

$V = \pi \text { }\int\limits _{-\infty}^{\infty}\operatorname {sech}\text { }u \text { } \operatorname {tanh} \text { }u \text { }du = 3/2 \pi$.

Teoretične psevdosfere

Psevdosfera je ploskev, ki ima ukrivljenost enako $-1/R^2$. To je podobno kot pri sferi s polmerom $R \,$, ki ima ukrivljenost $1/R^2$. Pojem je vpeljal italijanski matematik Eugenio Beltrami (1835 – 1900).

Traktrikoida

Traktrikoida

Traktrikoido dobimo z vrtenjem traktrise okoli asimptote

Hiperboloida

Nekateri viri, ki uporabljajo hiperbolni model hiperbolične ravnine, imajo tudi hiperboloid za psevdosfero.

Glej tudi

• Dinijeva ploskev
• sfera
• rotacijska ploskev

Zunanje povezave

• Prevdosfera na MathWorld (v angleščini)
• Prevdosfera v The Encyclopedia of Science (v angleščini)
• Galerija psevdosfernih ploskev (v angleščini)