Psevdosfera

Psevdosfera je izraz, ki se v geometriji uporablja za ploskve s konstantno negativno Gaussovo ukrivljenostjo. Lahko se nanaša na teoretske ploskve z negativno ukrivljenostjo, na traktrikoide ali na hiperboloide.

Parametrična oblika enačbe ^[1][uredi | uredi kodo]

Kartezična parametrična oblika enačbe ploskve, ki nastane z vrtenjem traktrise okoli asimptote, je

x=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\cos {\text{ }}v

y=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\sin {\text{ }}v

z=u-\operatorname {tanh} {\text{ }}u

kjer je

$u~\epsilon ~(-\infty ,~\infty )$
$v~\epsilon ~[0,~2\pi )$

Enačbo lahko zapišemo tudi v implicitni oliki v kartezičnih koordinatah^[1]

z^{2}=[a\cdot \operatorname {sech} ^{-1}{\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{a}}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}]^{2}

.

Površina ^[1][uredi | uredi kodo]

Površina je enaka

P=2\int \limits _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du{\text{ }}dv=4\pi

.

Prostornina ^[1][uredi | uredi kodo]

Prostornina je

V=\pi {\text{ }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du=2/3\pi

.

Teoretične psevdosfere[uredi | uredi kodo]

Psevdosfera je ploskev, ki ima ukrivljenost enako $-1/R^{2}$ . To je podobno kot pri sferi s polmerom $R\,$ , ki ima ukrivljenost $1/R^{2}$ . Pojem je vpeljal italijanski matematik Eugenio Beltrami (1835 – 1900).