Gaussova ukrivljenost

Od leve proti desni: ploskev z negativno Gaussovo ukrivljenostjo, (hiperboloid), ploskev z ničelno Gaussovo ukrivljenostjo (valj) in ploskev s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo (sfera).

Gaussova ukrívljenost [gáusova ~] (oznaka $\Kappa$) v določeni točki na ploskvi je v diferencialni geometriji produkt glavnih ukrivljenosti κ₁ in κ₂ v tej točki. To vrsto ukrivljenosti imenujemo tudi notranja ukrivljenost, ker je njena vrednost odvisna samo od načina merjenja razdalj na ploskvi, ne pa od tega kako je izometrično vložena v prostor. To je tudi vsebina Gaussovega izreka egregium (veličastni izrek).

Gaussovo ukrivljenost določimo z:

$\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\! ,$

kjer sta

• $\kappa_1$ in
• $\kappa_2$ glavni ukrivljenosti.

Drugačna definicija

Gaussova ukrivljenost je dana tudi z:

$\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},$

kjer je

• $\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}$ kovariantni odvod
• $g$ metrični tenzor

Totalna ukrivljenost

Vsota kotov v trikotniku na ploskvi z negativno ukrivljenostjo je manjša kot pri trikotniku v ravnini.

Površinski integral Gaussove ukrivljenosti preko določenega področja ploskve se imenuje totalna ukrivljenost. Totalna ukrivljenost geodetskega trikotnika je enaka odklonu vsote trikotnikovih kotov od $\pi$. Vsota kotov trikotnika na ploskvi s pozitivno ukrivljenostjo bo večja kot $\pi$, na ploskvi z negativno ukrivljenostjo pa bo manjša od $\pi$. Na ploskvah z ničelno ukrivljenostjo (Evklidska ravnina) pa je vsota kotov točno enaka $\pi$. V splošnem pa velja:

$\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA \!\, .$

Še splošnejša oblika pa je Gauss-Bonnettov izrek.

Še nekaj definicij

• Gaussova ukrivljenost ploskve v R³ se lahko prikaže kot razmerje med determinantama druge in prve fundamentalne forme:

$K = \frac{\det II}{\det I} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} \!\, .$

• Brioschijev obrazec nam da Gaussovo ukrivljenost kot izraz v prvi fundamentalni formi:

$K = \left( \det \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}- \det \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right) / \, (EG-F^2)^2 \!\, .$

• Za pravokotno parametrizacijo je Gaussova ukrivljenost:

$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).$

• Za ploskev, ki jo opišemo kot kot graf funkcije $z=F(x,y)$, je Gaussova ukrivljenost:

$K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}-{F_{xy}}^2}{(1+{F_x}^2+{F_y}^2)^2} \!\, .$

• Za ploskev $F(x,y,z) = 0$ je Gaussova ukrivljenost enaka:

$K=\frac{[F_z(F_{xx}F_z-2F_xF_{xz})+F_x^2F_{zz}][F_z(F_{yy}F_z-2F_yF_{yz})+F_y^2F_{zz}]-[F_z(-F_xF_{yz}+F_{xy}F_z-F_{xz}F_y)+F_xF_yF_{zz}]^2}{F_z^2(F_x^2+F_y^2+F_z^2)^2} \!\, .$

• Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med obsegom geodetke in krožnice v ravnini :

$K = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3} \!\, .$

• Gaussova ukrivljenost je v limiti razlika med površino geodetskega kroga in in kroga v ravnini :

$K = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 } \!\, .$

• Gaussova ukrivljenost se lahko izrazi s Christoffelovimi simboli:

$K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right) \!\, .$

Zunanje povezave

• Gaussova ukrivljenost na MathWorld (v angleščini)
• Gaussova ukrivljenost (v angleščini)
• Gaussova ukrivljenost v Encyclopedia of Mathematics (v angleščini)