Obseg

Za druge pomene glej obseg (razločitev).

Obsèg je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat govorimo o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje (oval, superelipsa, konhoida kroga (Pascalov polž), srčnica, Cassinijeve jajčnice, lemniskate (Bernoullijeva, Boothova, Geronova, hipopeda), cikloide (epicikloida, hipocikloida), ipd).

Mnogokotniki

Obseg mnogokotnika je vsota dolžin vseh njegovih stranic.

Obseg trikotnika s stranicami dolžin a, b in c je:

$o = a + b + c \,\! .$

Obseg štirikotnika s stranicami dolžin a, b, c in d je:

$o = a + b + c + d \,\! .$

Obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico dolžine b in krakoma dolžine a ter pravokotnika s stranicama dolžin a in b je:

$o = 2a + b \,\! ,$

$o = 2(a + b) \,\! .$

Obseg pravilnega mnogokotnika z n stranicami dolžine a je:

$o = na\,\! .$

Obseg enakostraničnega trikotnika in kvadrata s stranicami dolžine a je tako:

$o = 3a \,\! ,$

$o = 4a \,\! .$

Krožnica

Obseg krožnice je dan z njenim premerom d ali s polmerom r:

$o = \pi d = 2\pi r \,\! ,$

oziroma s ploščino kroga S:

$o = 2 \sqrt {\pi S} \approx 3,544908 \sqrt{S} \,\! .$

Tu je π matematična konstanta pi.

Elipsa

Približki za obseg elipse z glavnima polosema a in b:

$o \approx 2\pi \sqrt{ab} \,\!$ (Kepler, 1609)

$o \approx \pi (a+b) \,\! ,$

$o \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} \,\!$ (Euler, 1773)

$o \approx \pi \left[ \frac{a+b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right] \,\! ,$

$o \approx \pi \left[ \frac{3}{2} (a+b)-\sqrt{ab} \right] \,\!$

ali:

$o \approx \pi \sqrt{2(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}(a-b)^2} \,\! .$

Vsak približek je točnejši od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal Ramanujan:

$o \approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] = \pi (a+b) \left[ 3 - \sqrt{4-h} \right] \,\! ,$

$o \approx \pi (a+b) \left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} {10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}} \right] = \pi \left(a+b\right)\left[1+\frac{3h} {10+\sqrt{4-3h}}\right] \,\! .$

kjer je h parameter:

$h = \lambda^2 \,\! , \qquad \lambda = \frac{a-b}{a+b} \,\! .$

Tudi tukaj je drugi približek točnejši. Malo manj točen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

$o \approx \pi (a+b) \left[1 + \frac{h}{8} \right]^2 \,\! .$

Obseg elipse s parametrom λ je:

$o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256} + \cdots \right] = \pi(a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}\right)^2 \lambda^{2n}\right] \,\! ,$

oziroma s parametrom h:

$o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{h}{4} + \frac{h^2}{64} + \frac{h^3}{256} + \frac{25h^4}{16384} + \frac{49h^5}{65536} + \cdots \right] = \pi(a+b) \sum_{n=0}^{\infty} {{1\over 2} \choose n}^2 h^n \,\! ,$

približek pa (Hudsonova enačba, 1917):

$o \approx \pi (a+b) \frac{64-3h^2}{64-16h} \,\! .$

Hudsonovo enačbo po navadi pišejo s parametrom L:

$L = \frac{h}{4} = \frac{(a-b)^2}{(2(a+b))^2} \,\!$

$o \approx \frac{\pi}{4} (a+b) \left[ 3(1+L) + \frac{1}{1-L}\right] \,\! .$

Glej tudi

• obseg (algebra)
• Zemljin polmer (obseg Zemlje)
• obseg (teorija grafov)