Sylvestrova matrika

Sylvestrova matrika je matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Imenuje se po angleškem matematiku Jamesu Josephu Sylvestru (1814 – 1897).

Definicija

Naj bosta $p \,$ in $q \,$ dva neničelna polinoma stopnje $m \,$ in $n \,$

$p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.$.

Sylvestrovo matriko določata polinoma $p \,$ in $q \,$. Razsežnost te matrike je enaka $(n + m) \times (n + m) \,$ . Dobi pa se tako, da

• je prva vrstica matrike enaka :$\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$
• druga vrstica matrike je enaka prvi, vendar je premaknjena za en stolpec proti desni, prvi element pa je enak 0
• ostalih $n - 2 \,$ vrstic se dobi na enak način
• vrstica ${n + 1} \,$ je enaka

$\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$.

• naslednje vrstice se dobijo podobno

Zgled

Če je $m= 4 \,$ in $n= 3 \,$ je Sylvestrova matrika enaka

$S_{p,q}=\begin{pmatrix} p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\ 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\ 0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\ \end{pmatrix}.$.

Zunanje povezave

• Sylvestrova matrika na MathWorld (v angleščini)