Tetivni štirikotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Tetivni štirikotnik
Tetivni štirikotnik

Tetivni štírikótnik ali tetivni četverokótnik je v ravninski geometriji štirikotnik, katerega vsa oglišča ležijo na isti krožnici, oziroma, ki ima očrtani krog. Njegove stranice so tetive tega kroga. Oglišča so sokrožna.

Splošne značilnosti[uredi | uredi kodo]

V tetivnem štirikotniku sta nasprotna notranja kota suplementarna, oziroma štirikotnik je tetiven, če je vsota nasprotnih kotov enaka 180°:

 \alpha + \gamma = 180^{\circ}, \quad \beta + \delta = 180^{\circ} \!\, .

To dejstvo izhaja iz izreka o obodnem kotu. Velja enako, vsak zunanji kot je enak nasprotnemu notranjemu kotu.

Za tetivni štirikotnike velja Ptolemajev izrek: produkt dolžin njegovih diagonal je enak vsoti produktov po dveh nasprotnih stranic:

 ef = ac + bd \!\, .

V vsakem konveksnem štirikotniku dve diagonali skupaj razdelita štirikotnik v štiri trikotnike; v tetivnem štirikotniku sta nasprotna para teh trikotnikov med seboj podobna. Če sta diagonali pravokotni, in je s tem štirikotnik ortodiagonalen, velja Brahmaguptov izrek.

Posebni primeri[uredi | uredi kodo]

Kvadrat, pravokotnik ali enakokraki trapez so tetivni štirikotniki, paralelogram pa v splošnem ni.

Obseg[uredi | uredi kodo]

Obseg tetivnega štirikotnika je skupna dolžina vseh stranic:

 o = a+b+c+d \!\, .

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Za dane stranice tetivnega štirikotnika je njegova ploščina p podana z Brahmaguptovo enačbo:

 p = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \!\, ,

kjer je s polobseg:

 s = \frac{a+b+c+d}{2} \!\, .

Ploščina je podana tudi s polmerom očrtanega kroga R in diagonalama e ali f:

 p = \, \frac{e (ab+cd)}{4R} = \frac{f (ad+bc)}{4R} \!\, .

Od vseh štirikotnikov z danimi stranicami a, b, c in d ima tetivni štirikotnik največjo ploščino.

Druge značilnosti[uredi | uredi kodo]

Dolžini diagonal sta dani z:

 e = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \!\, ,
 f = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} \!\, .

Polmer očrtanega kroga R tetivnega štirikotnika je:

 R = \frac{1}{4p}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)} \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]