Tetivni štirikotnik

Tetivni štirikotnik

Tetivni štirikotnik

Tetivni štírikótnik ali tetivni četverokótnik je v ravninski geometriji štirikotnik, katerega vsa oglišča ležijo na isti krožnici, oziroma, ki ima očrtani krog. Njegove stranice so tetive tega kroga. Oglišča so sokrožna.

Splošne značilnosti

V tetivnem štirikotniku sta nasprotna notranja kota suplementarna, oziroma štirikotnik je tetiven, če je vsota nasprotnih kotov enaka 180°:

$\alpha + \gamma = 180^{\circ}, \quad \beta + \delta = 180^{\circ} \!\, .$

To dejstvo izhaja iz izreka o obodnem kotu. Velja enako, vsak zunanji kot je enak nasprotnemu notranjemu kotu.

Za tetivni štirikotnike velja Ptolemajev izrek: produkt dolžin njegovih diagonal je enak vsoti produktov po dveh nasprotnih stranic:

$ef = ac + bd \!\, .$

V vsakem konveksnem štirikotniku dve diagonali skupaj razdelita štirikotnik v štiri trikotnike; v tetivnem štirikotniku sta nasprotna para teh trikotnikov med seboj podobna. Če sta diagonali pravokotni, in je s tem štirikotnik ortodiagonalen, velja Brahmaguptov izrek.

Posebni primeri

Kvadrat, pravokotnik ali enakokraki trapez so tetivni štirikotniki, paralelogram pa v splošnem ni.

Obseg

Obseg tetivnega štirikotnika je skupna dolžina vseh stranic:

$o = a+b+c+d \!\, .$

Ploščina

Za dane stranice tetivnega štirikotnika je njegova ploščina p podana z Brahmaguptovo enačbo:

$p = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \!\, ,$

kjer je s polobseg:

$s = \frac{a+b+c+d}{2} \!\, .$

Ploščina je podana tudi s polmerom očrtanega kroga R in diagonalama e ali f:

$p = \, \frac{e (ab+cd)}{4R} = \frac{f (ad+bc)}{4R} \!\, .$

Od vseh štirikotnikov z danimi stranicami a, b, c in d ima tetivni štirikotnik največjo ploščino.

Druge značilnosti

Dolžini diagonal sta dani z:

$e = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}} \!\, ,$

$f = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} \!\, .$

Polmer očrtanega kroga R tetivnega štirikotnika je:

$R = \frac{1}{4p}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)} \!\, .$

Glej tudi

• tangentni štirikotnik
• bicentrični štirikotnik