Sedemnajstkotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pravilni sedemnajstkotnik

Sedemnájstkotnik (tudi 17-kotnik, sedemnájsterokótnik in s tujko heptadekagon ali heptakaidekagon) je mnogokotnik s 17-timi stranicami, 17-timi oglišči in 17-timi notranjimi koti.

Splošne značilnosti[uredi | uredi kodo]

Sedemnajstkotnik spada med pravilne mnogokotnike. Običajno pod izrazom sedemnajstkotnik mislimo pravilni sedemnajstkotnik. V pravilnem sedemnajstkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa je je približno 158,82 stopinj. Pravilni sedemnajstkotnik je kot vsi pravilni mnogokotniki tetivni in hkrati tangentni mnogokotnik, ter zato tudi bicentrični mnogokotnik. Vsota notranjih kotov v enostavnem sedemnajstkotniku je enaka 2700°. Njegov Schläflijev simbol je {17}. Coxeter-Dinkinov diagram je CDel node.pngCDel 17.pngCDel node.png.

Simetrijska grupa je diederska D17. Notranji kot je približno 158,82º.

Obseg[uredi | uredi kodo]

Obseg pravilnega sedemnajstkotnika je:

 o = 17 a \!\, .

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Ploščina pravilnega sedemnajstkotnika z dolžino stranice a je:

 p = \frac{17}{4} a^{2} \operatorname{ctg} \, \frac{\pi}{17} \approx 22,7354919 a^{2} \!\, .

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Pravilni sedemnajstkotnik lahko skonstruiramo z ravnilom in šestilom, kar je leta 1796 pokazal devetnajstletni Carl Friedrich Gauss. Njegov dokaz se je pojavil v njegovem delu Disquisitiones Arithmeticae, dokončanem leta 1798.

Konstruktabilnost sedemnajstkotnika pomeni, da lahko trigonometrične funkcije 17 izrazimo le z osnovno aritmetiko in kvadratnimi koreni. Gaussova knjiga Disquisitiones Arithmeticae vsebuje naslednjo enačbo, zapisano v sodobnem zapisu:

 16\,\cos\frac{2\pi}{17} = -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \!\, .

Prvo dejansko metodo za konstrukcijo sedemnajstkotnika je razvil Johannes Erchinger, nekaj let za Gaussovim delom.

Glede na konstrukcijo sedemnajstkotnika, lahko preprosto dobimo konstrukcije mnogokratnikov 17 krat 3 in 5 ter katerokoli potenco 2, na primer 34-kotnik, 51-kotnik, 85-kotnik ali 255-kotnik.

Petrijevi mnogokotniki[uredi | uredi kodo]

Pravilni sedemnajstkotnik je Petrijev mnogokotnik za en politop z višjo razsežnostjo, prikazan v poševni ortogonalni projekciji:

16-simplex t0.svg
16-simpleks (16D)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]