Osemkotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pravilni osemkotnik
Nepravilni osemkotnik
Vbočeni osemkotnik

Ósemkótnik ali s tujko óktagon (starogrško octogōnos < octo - osem + gōnos - ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik z osmimi stranicami, osmimi oglišči in osmimi notranjimi koti.

Splošne značilnosti[uredi | uredi kodo]

V pravilnem osemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 3π/4 radianov, oziroma 135 stopinj. Pravilni osemkotnik je kot vsi pravilni mnogokotniki tetivni in hkrati tangentni mnogokotnik ter zato tudi bicentrični mnogokotnik. Vsota notranjih kotov v preprostem osemkotniku je enaka:

 S_{8}=(8-2)\cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ} \!\, .

Njegov Schläflijev simbol je {8}.

Polmer očrtane krožnice:

 R = \frac{a}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 1,306563 a \!\, ,
 R = r \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} \approx 1,082392 r \!\,

in polmer včrtane krožnice:

 r = \frac{a}{2} (1 + \sqrt{2}) \approx 1,207107 a \!\, ,
 r = \frac{R}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 0,923880 R \!\, .

Dolžina stranice a\,\! je:

 a = R\sqrt{2-\sqrt{2}} \approx 0,765367 R \!\, ,
 a = 2 r (\sqrt{2}-1) \approx 0,828427 r \!\, .

Razmerje polmerov:

 \frac{R}{r} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \approx 1,082392 \!\, .

Obseg[uredi | uredi kodo]

Obseg pravilnega osemkotnika z dolžino stranice a\,\! je:

 o = 8a \!\, .

Ploščina[uredi | uredi kodo]

Ploščina pravilnega osemkotnika z dolžino stranice a\,\! je:

 p = 2 \, \operatorname{ctg} \, \left( \frac{\pi}{8} \right) a^{2} = 2 (1 + \sqrt{2}) a^{2} \approx 4,828427 a^{2} \!\, ,

oziroma s polmeroma:

 p = 4 \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) R^{2} = 2 \sqrt{2} R^{2} \approx 2,828427 R^{2} \!\, ,
 p = 8 \, \operatorname{tg} \, \left( \frac{\pi}{8} \right) r^{2} = 8 (\sqrt{2} - 1) r^{2} \approx 3,3137085 r^{2} \!\, .

Zadnja dva koeficienta omejujeta vrednost števila π, ploščino enotskega kroga.

Ploščina pravilnega osemkotnika je dana tudi z:

 p = d_{2}^{2} - a^{2} \!\, ,

kjer je d_{2} razpon osemkotnika, oziroma dolžina druge najdaljše diagonale. Razpon osemkotnika je enak:

 d_{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} + a + \frac{a}{\sqrt{2}} = (1+\sqrt{2}) a \!\, ,

ploščina pa:

 p = ((1+\sqrt{2}) a)^{2} - a^{2} = 2(1+\sqrt{2})a^{2} \!\, .

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Pravilni osemkotnik lahko skonstruiramo z ravnilom in šestilom.

Uporabe osemkotnikov[uredi | uredi kodo]

MUTCD R1-1.svg
V mnogih delih sveta imajo stop znaki obliko pravilnega osemkotnika.
Knopka 8 ugolnik.jpg
Stikalo
Solonka 8 ugolnik.jpg
Solnica
Korobka 8 ugolnik.jpg
Zaboj z osnovno ploskvijo v obliki nepravilnega osemkotnika
Korzina 8 ugolnik.jpg
Pladenj v obliki nepravilnega osemkotnika
Zont 8 ugolnik.jpg
Dežnik
Ashthalakshmi - Star of Laxmi.svg
Zvezda Lakšmi ima vrhove v obliki pravilnega osemkotnika
Ancient Roman concrete vault.jpg
Rimski betonski obok v Rimu.
Victoria Cross Medal Ribbon & Bar.png
Viktorijin križec
Octagram.svg
Osemkrako zvezdo, oktagram, s Schläflijevim simbolom {8/3}, očrtuje pravilni osemkotnik.
Pell octagons.svg
Racionalni približki pravilnih osemkotnikov, izpeljani iz Pellovih števil.
Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png
Ogliščno figuro pravilnega poliedra, velikega dirombikosidodekaedra, očrtuje nepravilni osemstrani zvezdasti mnogokotnik.
Octagonal prism.png
Osemstrana prizma ima za osnovni ploskvi dva osemkotnika.
Tile 488.svg
Pokritje ravnine s prisekanim kvadratom ima ob vsakem oglišču 2 osemkotnika.
Great rhombicuboctahedron.png
Prisekani kubični oktaeder ima 6 osemkotnikov.
Octagonal antiprism.png
Osemstrana antiprizma ima dva osemkotnika.
Penrose octagon.svg
Penroseov osemkotnik.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]