Normalna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za normalno porazdelitev.
oznaka \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)
parametri  \mu \epsilon \boldsymbol R \! — pričakovana vrednost (parameter lokacije)
 \sigma^2\! —varianca (kvadrat parametra merila)
interval  x  \epsilon \boldsymbol R \!, če je  \sigma^2 > 0\!
 x=\boldsymbol{\mu }\!, če je  \sigma^2 = 0\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\Big)\Big]
pričakovana vrednost  \mu \!
mediana  \mu \!
modus  \mu \!
varianca  \sigma^2\!
simetrija  0 \!
sploščenost  0 \!
entropija \ln\!\sqrt{2 \pi e \, \sigma^2}
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\exp\!\Big(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\Big)
karakteristična funkcija \exp\!\Big(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\Big)

Normalna porazdelitev (tudi Gaussova porazdelitev) je verjetnostna porazdelitev vrednosti statističnih enot v statistični populaciji, ki je v grafični predstavitvi oblikovana v obliki zvona oziroma normalne krivulje. Vanjo sodi družina porazdelitev, ki imajo različne parametre (npr. aritmetično sredino in standardni odklon), a oblikujejo enake grafe porazdelitve. Standardna normalna porazdelitev je porazdelitev vrednosti s povprečjem (aritmetično sredino) 0 in standardnim odklonom 1.

Normalna porazdelitev je izrednega pomena za kvantitativne metode različnih znanosti, saj ji sledi množica pojavov; po normalni krivulji se tako porazdeljuje človekova višina in masa, stopnja IQ idr. Predpostavljanje normalne porazdelitve je bistveno za množico statističnih izračunov, saj velja, da se vzorec, ki je izvzet iz celotne populacije, porazdeljuje približno po normalni krivulji tudi, če vrednosti vseh enot matične populacije niso porazdeljene normalno.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

O normalni porazdelitvi je prvi razpravljal francoski matematik de Moivre leta 1733, teorijo pa je dalje razvil Laplace leta 1812. Danes se po dveh znanstvenikih imenuje de Moivre-Laplaceov izrek.

De Laplace je teorijo normalne porazdelitve uporabljal za preučevanje napak v poskusih. Za nadaljnji razvoj je bila pomembna metoda najmanjših kvadratov, ki jo je uvedel Legendre leta 1805. Gauss pa si je nauk o normalni porazdelitvi lastil že od leta 1794 in ga utemeljil leta 1809 z razpravo o normalni porazdelitvi napak.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev je

\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) .

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\Big)\Big]

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

 \mu \!.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

 \sigma^2\!.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je

 0 \!.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

 0 \!.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

\exp\!\Big(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\Big)

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

\exp\!\Big(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\Big).

Kumulante[uredi | uredi kodo]

Red
momenta
Moment Centralni moment Kumulanta
1 \scriptstyle\mu 0 \scriptstyle\mu
2 \scriptstyle\mu^2 + \sigma^2 \scriptstyle\sigma^2 \scriptstyle\sigma^2
3 \scriptstyle\mu^3 + 3\mu\sigma^2 0 0
4 \scriptstyle\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4 \scriptstyle3 \sigma^4 0
5 \scriptstyle\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4 0 0
6 \scriptstyle\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 \scriptstyle 15 \sigma^6 0
7 \scriptstyle\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 0 0
8 \scriptstyle\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 \scriptstyle 105 \sigma^8 0

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]