Enotski ulomek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Enôtski ulómek (tudi osnóvni ulómek) oblike:

\frac{n}{d} \!\,

je v matematiki ulomek, katerega števec n = 1. Če je njegov celoštevilski imenovalec d > n = 1, potem je ulomek tudi pravi ulomek. Tako obstaja točno en enotski ulomek, ki ni pravi, namreč 1. Enotski ulomek je tako obratna vrednost naravnega števila (pozitivnega celega števila), 1/n. Zgledi so: 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 ipd.

Osnovne računske operacije[uredi | uredi kodo]

Zmnožek dveh enotskih ulomkov je spet enotski ulomek, vsota, razlika ali količnik je lahko enotski ulomek, večinoma pa ne.

  •  {1\over m} \cdot {1\over n} = {1\over mn}
    •  {1\over 2} \cdot {1\over 5} = {1\over 10}
    •  {1\over 3} \cdot {1\over 6} = {1\over 18}
  •  {1\over m} + {1\over n} = {n+m\over mn}
    •  {1\over 2} + {1\over 5} = {7\over 10}
    •  {1\over 3} + {1\over 6} = {1\over 2}
  •  {1\over m} - {1\over n} = {n-m\over mn}
    •  {1\over 2} - {1\over 5} = {3\over 10}
    •  {1\over 3} - {1\over 6} = {1\over 6}
  • \frac1m \div \frac1n = \frac{n}{m} \!\, .

Vsak enotski ulomek je cel mnogokratnik ulomka z istim imenovalcem:

 {n\over d} = n \cdot {1\over d} \!\, .

Vsako pozitivno racionalno število lahko zapišemo kot vsoto različnih enotskih ulomkov. Takšni ulomki so poznani iz egipčanske matematike, kjer lahko najdemo veliko posebnih prikazov števil kot končne vsote enotskih ulomkov, katerih imenovalci so med seboj različni; taka števila sedaj imenujemo egipčanski ulomki. Iz Ahmesovega Rhindovega papirusa izhaja primer:

 \frac{2}{71} = \frac{1}{40} + \frac{1}{568} + \frac{1}{710} \!\, .

Takšen zapis pa ni vedno enoličen. Na primer število 0,8 lahko napišemo na dva načina:

 {8\over 10} = {1\over 2} + {1\over 4} + {1\over 20} = {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 6} + {1\over 10} \,\ .

Veliko enotskih ulomkov je parov sosednjih ulomkov. Enotski ulomki so nekateri zaporedni ali nezaporedni členi poljubnega Fareyjevega zaporedja Fn stopnje n. Ulomka 1/2 in 1/4 sta sosednja ulomka, nista pa zaporedna člena Fareyjevega zaporedja F5. Ulomka 1/3 in 1/4 sta tudi sosednja ulomka in sta zaporedna člena F5.

Vrste enotskih ulomkov[uredi | uredi kodo]

Veliko znanih neskončnih vrst ima člene, ki so enotski ulomki.

  • Delna vsota enotskih ulomkov:
 {1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + \cdots + {1\over n} \!\,
da harmonično vrsto, ki se z naraščajočim n približuje vrednosti loge(n)+γ. Vsota vseh enotskih ulomkov je zaradi tega neskončna, čeprav zelo počasi divergira.

Matrike z enotskimi ulomki[uredi | uredi kodo]

Hilbertova matrika je matrika z elementi:

H_{i,j} = \frac1{i+j-1}\!\, .

Vsi elementi v njenem inverzu so cela števila. Podobno je Richardson določil matriko z elementi:

C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}} \!\, ,

kjer je Fi i-to Fibonaccijevo število. Imenoval jo je Filbertova matrika. Ima enako lastnost, da so elementi v njenem inverzu cela števila.

Enotski ulomki v fiziki[uredi | uredi kodo]

Energijski nivoji v Bohrovem modelu elektronskih orbit v vodikovem atomu so sorazmerni s kvadratnimi enotskimi ulomki. Zaradi tega so energijski nivoji fotonov, ki jih lahko vodikov atom absorbira ali izseva, podobno sorazmerni z razlikama dveh takšnih ulomkov.

Nekaj časa so verjeli da je konstanta fine strukture α točno enaka enotskemu ulomku 1/136, in z njo povezano Eddingtonovo število celo število.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]