Laplaceov operator

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Laplaceov operátor [laplásov ~] je v vektorskem računu skalarni diferencialni operator skalarne funkcije φ. Je enak vsoti vseh drugih parcialnih odvodov odvisne spremenljivke.

To odgovarja div (grad φ), zato tudi uporaba simbola del (operator nabla), ki ga predstavlja:

$\nabla^{2} \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi ) \!\, .$

Zapišemo ga tudi z znakom Δ.

V eno in dvorazsežnih kartezičnih koordinatah je Laplaceov operator:

$\Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; .$

In v treh Σ(x, y, z):

$\Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } \; .$

V trorazsežnih cilindričnih koordinatah Σ(r, φ, z) je:

$\nabla^2 t = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2} + {\partial^2 t \over \partial z^2 }$

V trorazsežnih sferičnih koordinatah Σ(r, θ, φ) je:

$\nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}$