Binomska vrsta

Binomska vrsta je funkcijska vrsta funkcije $(1+x)^m \!$.

Če razvijemo polinom

$f(x)=( 1 + x )^m \!\,$

okrog točke 0

$( a = 0 ), m\in\mathbb{R}$ v Taylorjevo vrsto

$f^{\prime}(x)=m(1+x)^{m-1} \quad f^{\prime}(0)=0$

$f^{\prime\prime}(x)=m(m-1)(1+x)^{m-2} \qquad f^{\prime\prime}(0)=1$

$f^{(k)}(x)=m(m-1) ... (m-k+1)(1+x)^{m-k}\!$

Opomba Če je $m\in\mathbb{N}$, ima vrsta končno členov - od (m+1) dalje so vsi enaki 0.

Če $m\notin\mathbb{N}$, $m\ne 0$ ima vrsta neskončno členov, dobimo:

$f(x) = (1+x)^m = 1 + \frac{m}{1!}x + \frac {m(m-1)}{2!}x^2 + ... + \frac {m(m-1) ... (m-k+1)}{k!} x^k$

Definiramo binomski simbol:

${m \choose k} = \frac{m(m-1) ... (m-k+1)}{k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0}$

${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}; \qquad m\in\mathbb{R} \quad k\in\mathbb{N}\cup{0}$

in tako je binomska vrsta:

$(1+x)^m = \sum_{k=0}^\infty {m \choose k}x^k$

Konvergenca vrste

Binomska vrsta konvergira na območju s konvergentnim polmerom:

$M = \lim_{z\rightarrow \infty} f(z)= \left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right | = \frac {{m \choose n}}{{m+1 \choose n+1}}= \lim_{n\rightarrow \infty} \left | \frac{n+1}{m-n} \right | = 1$

Konvergira za $|x| < 1$