Absolutna vrednost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Graf funkcije absolutne vrednosti realnega števila x

Absolútna vrédnost (redko tudi módul) nekega realnega ali kompleksnega števila je v matematiki elementarna funkcija, ki predstavlja njegovo oddaljenost od številskega izhodišča (točke 0) na številski premici oziroma v kompleksni ravnini. Absolutno vrednost po navadi označimo z navpičnim oklepajem | |.

Absolutna vrednost poljubnega števila je vedno nenegativno število.

Realna števila[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost realnega števila ni odvisna od njegovega predznaka.


  |a|=
  \left\{
   \begin{matrix}
    a; \ a \ge 0 \\
    -a; \ a < 0 \\
   \end{matrix}
  \right.

Primer: |3|=3 in |-3|=3 ter |0|=0.

Velja:

  1. |a| ≤ b, če in samo če -bab
  2. |a| ≥ b, če in samo če a ≤ -b ali ab

Kompleksna števila[uredi | uredi kodo]

Kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1 ležijo na enotski krožnici

Če imamo kompleksno število z = a + b\,i, kjer sta a, b\in\mathbb R, potem je absolutna vrednost |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, kar predstavlja razdaljo od števila z do točke 0 v kompleksni ravnini. Torej, |3 + 4i| = 5.

Kompleksna števila, ki imajo enako absolutno vrednost, ležijo na krožnici s središčem v izhodišču.

Lastnosti absolutne vrednosti[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost ima v realnem in v kompleksnem naslednje lastnosti:

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0, če in samo če a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (če b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| (trikotniška neenakost)
  6. |a-b| ≥ ||a| − |b||

Poleg tega velja v realnem še \left| a \right| = \sqrt{a^2}, v kompleksnem pa \left| z \right| = \sqrt{z~\overline{z}~}.


Vektorji[uredi | uredi kodo]

Absolutna vrednost vektorja je drugo ime za dolžino vektorja.

Primer: absolutno vrednost trirazsežnega vektorja \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) izračunamo po formuli:

 | \vec a | = \sqrt{a^2_x + a^2_y +a^2_z }

Programiranje[uredi | uredi kodo]

V programskih jezikih je funkcija abs(a) (za realna števila) običajno vgrajena, sicer pa jo lahko enostavno sprogramiramo (primer v pascalu):

function abs(a:integer):integer;
begin
  if (a >= 0) then abs := a
              else abs := -a;  
end;