Versor

Versor je v kvaternionski algebri usmerjeni lok velikega kroga, ki odgovarja kvaternionu z normo enako ena.

Izraz izhaja iz latinske besede versus, kar pomeni obrnjen. Vpeljal ga je irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton (1805 – 1865). Izraz je uporabil v svoji teoriji kvaternionov.

Lok AB + lok BC = lok AC

Definicija

Hamilton je označil versor kvaterniona $q \,$ z oznako $Uq \,$. Na ta način je lahko prikazal kvaternion v polarnih koordinatah v obliki

$q = TqUq \,$

kjer je

• $Tq \,$ tenzor kvaterniona $q \,$

tenzor versorja je vedno enak 1.

Posebno zanimiv je pravi versor, ki mu pripada kot π/2. Te vrste versorji imajo skalarni del enak 0 in so tako enotski vektorji. Pravi versorji v kvaternionski algebri tvorijo kroglo kvadratnih korenov iz -1. Zgledi pravih versorjev v kvaternionski grupi so $i, j, k \,$.

Če ima veliki krog dolžino $a \,$ in je $\mathbf{r}$ pol velikega kroga, potem je versor enak kvaternionu:

$\exp(a\mathbf{r}) = \cos a + \mathbf{r} \sin a. \,$

kjer je

• $\exp(x) \,$ eksponentna funkcija $f(x) \,$ ($f(x) = e^x \,$

Definicija v linearni algebri, geometriji in fiziki

Na ostalih področjih običajno definiramo versor kot enotski vektor, ki določa smer usmerjenih osi ali pa usmerjenost nekega drugega vektorja. Zgleda:

• versorji kartezičnega koordinatnega sistema so enotski vektorji v smereh osi tega sistema.
• versor ali normalizirani vektor $\boldsymbol{\hat{u}}\,$ neničelnega vektorja $u \,$ je enotski vektor v smeri vektorja $u \,$, kar lahko zapišemo kot

$\boldsymbol{\hat{u}} = \frac{\boldsymbol{u}}{\|\boldsymbol{u}\|}.$

kjer je

• $\|\boldsymbol{u}\|$ norma (dolžina) vektorja $\boldsymbol{u}$

Hiperbolični versor

Hiperbolični versor ima obliko

$\exp(ar) = \cosh \ a \ + r\ \sinh \ a \ \ \text{ kjer je }\ \ r^2 = +1$.

Glej tudi

• kvaternioni in prostorske rotacije

Zunanje povezave

• Kvaternioni in versor (v angleščini)
• Versor na biologija on-line (v angleščini)