Vektorsko polje

Zgled enostavnega vektorskega polja.

Primer vektorskega polja. Vektorji so prikazani kot puščice, ki imajo različne smeri in velikosti.

Vektorsko polje je funkcija, ki vsaki točki prostora pripiše vektor, ki pripada neki fizikalni količini. Pojem vektorskega prostora se uporablja v fiziki za opisovanje pojavov, ki vključujejo smer v vsaki točki prostora. Primeri so: gibanje tekočine in sila, ki jo povzroča električno ali magnetno polje. Pogosta je uporaba tudi v modelih atmosferskih pojavov (hitrost vetra).

Če je prostor Evklidski, je pojem vektorskega polja precej lahko razumljiv.

Nekaj enostavnih primerov

• hitrost pri gibanju kapljevin
• magnetno polje
• električno polje

Posebni primeri vektorskih polj

Vektorsko polje na ploskvi

Če je $\vec r \,$ krajevni vektor za katerega velja $\vec r = (x, y) \,$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko

$\vec F( \vec r) = (F_x(x,\ y),\ F_y(x,\ y))$

Vektorsko polje v prostoru

Če je $\vec r \,$ krajevni vektor za katerega velja $\vec r = (x, y, z) \,$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko

$\vec F ( \vec r) = \{F_x(x,\ y,\ z),\ F_y(x,\ y,\ z),\ F_z(x,\ y,\ z)\}$.

Gradient skalarnega polja

Vektorsko polje lahko dobimo iz skalarnega polja z uporabo gradienta. Vektorsko polje $V \,$, ki je določeno nad množico $S \,$ se imenuje gradientno polje. To je takrat, ko obstoja realna funkcija (skalarno polje) tako, da je

$V = \nabla f = \bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\bigg).$

Krivuljni integral po zaprti poti v gradientnem polju je enak 0.

Pretok vektorskega polja $\vec F (\vec r) \,$ čez površino $S \,$ je določen z integralom

$\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{\mathbf F\cdot \mathbf{dS}}=\iint\limits_{S}{F_n\ dS}\,$

kjer je

• $F_n \,$ projekcija vektorja polja na pravokotnico na površino
• $dS \,$ vektorski element površine ( vektor enotske pravokotnice pomnožen z $dS \,$).

Primer pretoka vektorskega polja je prostornina tekočine, ki steče skozi površino $S \,$ pri hitrosti $F \,$.

Divergenca vektorskega polja je

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

Rotor je

$\operatorname{rot}\;\mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf k$

kjer je

• $\vec i \,$ enotni vektor na osi x
• $\vec j \,$ enotni vektor na osi y
• $\vec k \,$ enotni vektor na osi z

Gradient omogoča, da iz skalarnega polja dobimo vektorsko polje.

$\mathbf{grad} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \equiv \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf i + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf j + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf k ,$

ali, če to zapišemo z uporabo nable:

$\mathbf{grad} f \equiv \nabla f.$

Nekatere lastnosti

• Vektorsko polje, ki ima povsod divergenco enako 0, se imenuje solenoidalno vektorsko polje.

• Vektorsko polje, ki pa ima rotor enak 0 v katerikoli točki, se imenuje potencialno vektorsko polje (nevrtično). Takšno polje lahko prikažemo kot gradient nekega skalarnega polja (potenciala).

• Vektorsko polje, ki ima povsod divergenco in rotor enak 0, imenujemo harmonično polje, njegov potencial pa predstavlja harmonično funkcijo.

Glej tudi

• skalarno polje
• tenzorsko polje
• spinorno polje

Zunanje povezave

• Vektorsko polje na MathWorld (v angleščini)
• Simulacije vektorskega prostora (dvorazsežna in trirazsežna varianta) (v angleščini)
• Vektorska polja (v angleščini)
• Simulacija vektorskega polje okoli dveh nabojev (v angleščini)
• Simulacije za različne funkcije (v angleščini)
• Vektorska polja (v angleščini)