Torus

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Torus
Ko se razdalja do osi vrtenja manjša, krožni torus postane vretenasti torus, ki pa se nazadnje izrodi v sfero.

Tórus (ali svítek) je rotacijska ploskev, ki nastane z vrtenjem krožnice okrog osi, ki je koplanarna s krožnico. V večini primerov predpostavljamo, da se os ne dotika krožnice. Telo, ki pri tem nastane, se imenuje tóroid.

Rod torusa je enak 1.

Torus je zmnožek dveh krožnic. V prikazanem primeru se zavrti se rdeča krožnica zavrti okoli osi, ki jo določa vijoličn akrožnica. R je polmer vijolične krožnice, r je polmer rdeče krožnice.
krožnica
Krožni torus
Rog
Rogati torus
vreteno
Vretenasti torus
Spodnje polovice treh vrst torusov

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Torus lahko definiramo v parametrični obliki [1]

x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \,
y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z(u, v) =  r \sin{v} \,

kjer je

Torus 3d.png

Razdalji  R \, in  r \, imenujemo tudi "veliki polmer" in "mali polmer".

Implicitna oblika enačbe torusa v kartezičnem koordinatnem sistemu za torus, ki je radialno simetričen na z-os je

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2+z^2 = r^2, \,\!

ali v drugačni obliki, če je  f(x,y,z) = 0 \,:

 f(x,y,z) = \left(R-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2-r^2 \,.

Če odstranimo kvadratni koren, dobimo enačbo četrte stopnje

 (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2).  \,\!.

Površina in prostornina torusa[uredi | uredi kodo]

Površina torusa je enaka

P = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) \,

Prostornina pa je

V = 2 \pi^2 R r^2 = \left ( \pi r ^2 \right ) \left( 2 \pi R \right) \,.

Topologija[uredi | uredi kodo]

Topološko je torus zaprta ploskev, ki je zmnožek dveh krožnic S1 × S1. Takšen topološki torus se imenuje tudi Cliffordov torus.

n-kratni torusi[uredi | uredi kodo]

Double torus illustration.png
dvojni torus
Triple torus illustration.png
trojni torus

V teoriji ploskev ima izraz n-torus drugačen pomen. Namesto, da bi to pomenilo zmnožek n krožnic, to pomeni povezano vsoto n dvorazsežnih torusov.

Običajni torus je na ta način 1-torus, 2-torus imenujemo dvojni torus, 3-torus je trojni torus in tako dalje. Vedno pa lahko rečemo, da je n-torus orientabilna ploskev

Toroidni poliedri[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Toroidni poliedri.

Poliedri s topološkim tipom torusa se imenujejo toroidni poliedri.

Večrazsežni torusi[uredi | uredi kodo]

Torus lahko posplošimo na večje število razsežnosti. Na ta način dobimo n-razsežne toruse. Običajni torus je zmnožek prostorov dveh krožnic. N-razsežni torus (imenujemo ga tudi n-torus) pa je zmnožek  n \, krožnic, kar lahko zapišemo kot

\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n \,.

Torus, ki smo ga opisali zgoraj, je dvorazsežni torus, enorazsežni torus je kar krožnica.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]