Eliptična krivulja

Pregled eliptičnih krivulj. Prikazano področje je [−3,3]² (Za a = 0 in b = 0 ni gladko in torej niso eliptične krivulje.)

Eliptična krivulja je gladka, ravninska projektivna algebrska krivulja z rodom enakim 1. Na ravnini je določena posebna točka, ki jo označujemo z $O \,$ in služi kot nevtralni element. Eliptična krivulja je Abelova varieteta. Eliptične krivulje so definirane nad obsegom.

Ime eliptična krivulja ima zgodovinski izvor zaradi svoje povezave z eliptičnimi integrali, ker so prvotno služili za izračunavanje dolžine lokov elips. Pri tem pa elipsa sploh ni eliptična krivulja.

Vsako eliptično krivuljo lahko napišemo v obliki

$y^2=x^3+ax+b\,$ .

Krivulja je nesingularna, nima konic (nesingularnosti) ali presekov samega sebe.

Kadar je karakteristika obsega koeficientov enaka 2 ali 3 zgornja enačba v splošnem ni dovolj, da bi vsebovala vse nesingularne krivulje tretje stopnje.

Točka $O \,$ je točka v neskončnosti v projektivni ravnini.

Če je $y^2 = P(x)$ , kjer je $P(x)$ mnogočlenik stopnje tri v spremenljivki x tako, da se ničle ne ponavljajo, potem dobimo nesingularno ravninsko krivuljo z rodom enakim 1. To pa je eliptična krivulja. Kadar pa ima mnogočlenik $P(x)$ stopnjo 4 in nima kvadratov prav tako dobimo krivuljo z rodom enakim 1, vendar nimamo naravne izbire nevtralnega elementa. Če govorimo splošno, je vsaka algebrska krivulja z rodom 1, ki na primer nastane s presekom dveh ploskev druge stopnje vloženih v trirazsežni projektivnem prostoru

Vsebina

1 Eliptične krivulje nad realnimi števili
2 Zakon grupe
3 Eliptične krivulje nad kompleksnimi števili
4 Eliptične krivulje nad racionalnimi števili
5 Eliptična krivulja nad splošnim obsegom
6 Alternativni prikaz eliptičnih krivulj
7 Glej tudi
8 Zunanje povezave

Eliptične krivulje nad realnimi števili [uredi]

Krivulji $y^2 = x^3 -x$ in $y^2 = x^3 - x + 1$ .

Eliptično krivuljo prištevamo med ravninske krivulje, saj ima obliko

$y^2 = x^3 + ax + b\,$

kjer je

$a \,$ realno število
$b \,$ realno število

To vrsto enačb se imenujemo Weierstrassove enačbe. Za eliptične krivulje se zahteva, da so nesigularne, to pomeni, da nimajo vrhov, se same ne sekajo in nimajo izoliranih točk.

Krivulja je nesingularna, če je njena diskriminanta različna od nič.

Diskriminanta eliptične krivulje je enaka

$\Delta = -16(4a^3 + 27b^2). \,$

Realni graf nesingularne krivulje ima dve komponenti, če je diskriminanta pozitivna in samo eno komponento, če je negativna. (Na sliki na desni strani ima desna krivulja pozitivno (64) diskriminanto, leva krivulja pa negativno (-368). Temu primerna je tudi oblika krivulj).

Zakon grupe [uredi]

Z dodajanjem točke v neskončnosti se dobi projektivna verzija krivulje. Če sta $P \,$ in $Q \,$ na krivulji, potem lahko enolično določimo tretjo točko, ki je na preseku krivulje s premico skozi $P \,$ in $Q \,$ . Kadar je premica tangenta na krivuljo v tej točki, takrat to točko štejemo dvakrat. Kadar pa je premica vzporedna z y-osjo vzamemo, kot da je točka v neskončnosti. Eden izmed teh pogojev velja za poljubni par točk na eliptični krivulji.

Lahko uvedemo grupno operacijo, ki jo označimo s "+", z naslednjimi lastnostmi: naj bo točka v neskončnosti, ki jo označimo z 0, to pa je nevtralni element grupe. Če premica seka krivuljo v tokah $P \,$ , $Q \,$ in $R \,$ zahtevamo, da je $P + Q + R = 0 \,$ v grupi. Da se prepričati, da pri tem krivulja postane Abelova grupa in tudi Abelova varieteta. Lahko se tudi dokaže, da množica K-racionalne točke tvorijo podgrupo te grupe. Če krivuljo označimo z $E \,$ , potem podgrupo označimo z $E(K) \,$ .

Eliptične krivulje nad kompleksnimi števili [uredi]

Oblikovanje eliptičnih kot vložitev torusa v kompleksno projektivno ravnino je posledica znamenitih Weierstrassovih eliptičnih funkcij, ki jih označujemo z $\wp(z)$ . Povezava med samo funkcijo in prvim odvodom te funkcije je

$\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3$

kjer

$g_2$ je konstanta
$g_3$ je konstanta
$\wp(z)$ Weierstrassova eliptična funkcija
$\wp'(z)$ prvi odvod Weierstrassove eliptične funkcije

Razumljivo je, da je zgornji odnos v obliki eliptične krivulje nad kompleksnimi števili.

Weierstrassove eliptične funkcije so dvojno periodične. Periodične so glede na osnovni par period $\Lambda$ , ki tvorijo mrežo v kompleksni ravnini. V bistvu so Weierstrassove eliptične funkcije definirane na torusu $T=\mathbb{C}/\Lambda$ .

Ta torus pa je lahko potopljen v kompleksno projektivno ravnino s preslikavo

$z \mapsto (1,\wp(z), \wp'(z)).\,$

Ta preslikava je grupni izomorfizem, ki nosi naravno grupno strukturo torusa v projektivno ravnino. Ta izomorfizem je lahko tudi izomorfizem Riemannovih ploskev in tako topološko dana eliptična krivulja izgleda kot torus.

Eliptične krivulje nad racionalnimi števili [uredi]

Eliptična krivulja $E$ nad obsegom racionalnih števil je definirana tudi nad obsegom realnih števil. Zaradi tega se lahko zakon seštevanja za tangento in sekanto lahko uporabi tudi za krivuljo $E$ . Obrazci kažejo, da ima vsota dveh točk z racionalnimi koordinatami zopet racionalne koordinate. Na ta način se lahko pokaže, da množica racionalnih števil krivulje $E$ tvori podgrupo grup realnih točk krivulje $E$ .