Projektivna ravnina

Projektivna ravnina je ploskev, ki razširja pojem ravnine. To je ravnina z Eulerjevo karakteristiko enako 1. Je običajna ravnina, ki vsebuje tudi točko v neskončnosti, kjer se sekajo vzporedne premice. V običajni ravnini se vzporednice sekajo v neskončnosti. Projektivno ravnino si lahko predstavljamo kot, da bi zlepili diametralno nasprotne točke sfere tako, da bi medsebojno zamenjali dve točki, ki povezujeta odsek na sferi. Tega ne moremo narediti v trirazsežnem prostoru brez medsebojnega sekanja ploskve. Zaradi tega jo imenujemo tudi zvita sfera . Projektivne ravnine ne moremo vložiti v trirazsežni evklidski prostor. Projektivna ravnina je neorientabilna ploskev.

Posebni obliki sta realna projektivna ravnina z oznako $\mathbb R \mathbb P^2$ (tudi $\mathbb P^2 (\mathbb R)$) in kompleksna projektivna ravnina, ki jo označujemo s $\mathbb C \mathbb P^2$.

Naj bo $K$ kolobar z deljenjem in naj $K^3$ označuje množico vseh mogočih trojk $x = (x_0, x_1, x_2)$ elementov iz $K$. Za vsak neničelen $x \,$ v $K^3$ in premico v $K^3$ skozi izhodišče in $x \,$ podmnožica

$\{k x + l y : k, l \in K\}$

spada v $K^3$.

Projektivno ravnino nad $K$ označujemo s $K \mathbb P^2$. To je množica vseh premic v $K^3$ skozi izhodišče. Podmnožica $L$, ki pripada $K \mathbb P^2$, je premica v $K \mathbb P^2$, če obstoja ravnina v $K^3$, v kateri je množica premic natančno $L$.

Zgledi

• Realno projektivno ravnino $\mathbb R \mathbb P^2$ dobimo, če zavzame $K$ samo realne vrednosti. Kot zaprta neorientabilna realna 2-razsežna mnogoterost služi kot osnovni primer v topologiji.
• Kompleksno projektivno ravnino $\mathbb C \mathbb P^2$ dobimo, če zavzame $K$ kompleksne vrednosti. To je zaprta kompleksna neorientabilna dvorazsežna mnogoterost in torej tudi zaprta orientabilna realna štiri razsežna mnogoterost.
• Kvaternionska projektivna ravnina z oznako $\mathbb H \mathbb P^2$ je razširitev realnega projektivnega prostora in kompleksnega projektivnega prostora na področje kjer koordinate ležijo v kolobarju kvaternionov.
• Oktonioni ne tvorijo kolobarja z deljenjem zato zgornja definicija ni primerna. Običajno se smatra Cayleyjevo ravnino kot projektivno ravnino nad oktonioni.

Glej tudi

• incidenčna struktura
• projektivna geometrija

Zunanje povezave

• Projektivna ravnina (v angleščini)
• Opis in lasnosti projektivne ravnine (v angleščini)
• Projektivni prostor na PlanetMath (v angleščini)