Eulerjeva karakteristika

Eulerjeva karakteristika (tudi Euler-Poincaréjeva karakteristika) (oznaka $\chi \,$ ) je v matematiki oziroma v algebrski topologiji in poliedrski kombinatoriki topološka invarianta.

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707 – 1783).

Najprej so definirali Eulerjevo karakteristiko za poliedre. V sodobni matematiki izhaja Eulerjeva karakteristika iz homologije in povezuje mnogo drugih invariant.

Poliedri[uredi]

Eulerjevo karakteristiko so najprej definirali za poliedre

$\chi=V-E+F \,\!$

kjer je

$V \,$ število oglišč poliedra
$E \,$ število robov poliedra
$F \,$ število stranskih ploskev poliedra

Konveksni poliedri imajo Eulerjevo karakteristiko enako

$\chi = V - E + F = 2. \,\!$ .

Ta obrazec je znan tudi kot Eulerjev obrazec

V nadaljevanju je podana Eulerjeva karakteristika za nekatere konveksne poliedre:

ime	oglišča V	robovi E	stranske ploskve F	Eulerjeva karakteristika: V − E + F
tetraeder	4	6	4	2
heksaeder ali kocka	8	12	6	2
oktaeder	6	12	8	2
dodekaeder	20	30	12	2
ikozaeder	12	30	20	2

Nekonveksni poliedri imajo različne vrednosti Eulerjeve karakteristike:

ime	oglišča V	robovi E	stranske ploskve F	Eulerjeva karakteristika: V − E + F
tetrahemiheksaeder	6	12	7	1
oktahemioktaeder	12	24	12	0
kubohemioktaeder	12	24	10	−2
veliki ikozaeder	12	30	20	2

Zgledi[uredi]

Eulerjeva karakteristika se lahko izračuna za

ime	slika	Eulerjeva karakteristika
interval		1
krožnica		0
enotska krožnica		1
sfera		2
torus		0
dvojni torus		−2
trojni torus		−4
realna projektivna ravnina		1
Möbiusov trak		0
Kleinova steklenica		0
dve sferi (nepovezani) (disjunktna unija dveh sfer)		2 + 2 = 4
tri sfere (nepovezane) (disjunktna unija treh sfer)		2 + 2 + 2 = 6