Stopnja polinoma

Stopnja polinoma je enaka najvišji potenci med vsemi členi z neničelnim keoficientom v polinomu, ki ga izrazimo v kanonski obliki (to pomeni kot vsoto oziroma razliko posameznih členov). Stopnja posameznih členov je enaka vsoti potenc posameznih spremenljivk v členu. Primer: imamo polinom $7 x^2y^3+4x+9 \,$ (polinom lahko pišemo kot $7 x^2y^3 +4x^1y^0 -9x^0y^0) \,$, ki ima tri člene. Prvi člen ima stopnjo 5 (2 +3) , drugi člen ima stopnjo 1, zadnji člen pa ima stopnjo 0. to pomeni, da ima polinom stopnjo 5.

Imena polinomov po stopnji

Spodaj so navedena imena polinomov za posamezne stopnje :

• stopnja 0 – konstanta
• stopnja 1 – linearni polinom
• stopnja 2 – kvadratni polinom
• stopnja 3 – kubični polinom
• stopnja 4 – kvartični polinom (ali redkeje bikvadratni)
• stopnja 5 – kvintični polinom
• stopnja 6 – sekstični polinom (ali redkeje heksični)
• stopnja 7 – septični polinom (ali redkeje heptični)
• stopnja 8 – oktični polinom
• stopnja 9 – nonični polinom
• stopnja 10 – decični polinom
• stopnja 100 – hektični polinom

Stopnja vsote, razlike, zmnožka in kompozituma polinomov

Stopnja vsote ali razlike dveh polinomov je enaka ali manjša njihovih stopenj

$\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P)\deg(Q))$.

$\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P)\deg(Q))$

kjer je z

• $\deg( ) \,$ označena stopnja (tudi v nadaljevanju).

Stopnja zmnožka dveh polinomov je enaka vsoti njunih stopenj

$\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.

Stopnja kompozituma dveh polinomov je enaka zmnožku njunih stopenj

$\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q)$.

Stopnja ničelnega polinoma

Funkcija $f(x) = 0 \,$ je tudi polinom, ki ga imenujemo ničelni polinom

Stopnja nekaterih drugih funkcij

Stopnja polinoma $f \,$ se lahko izračuna tudi s pomočjo obrazca

$\deg f = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |f(x)|}{\log x}.$.

Ta obrazec posplošuje pojem stopnje tako, da lahko določimo stopnjo za funkcije, ki niso polinomi.

Primeri:

• recipročna vrednost ($1/x \,$) ima stopnjo enako -1
• kvadratni koren ($\sqrt {x} \,$) ima stopnjo enako 1/2
• logaritem ($\log x \,$) ima stopnjo 0
• eksponentna funkcija ($e^x \,$ ali $\exp x \,$) ima stopnjo $\infty \,$

Drugi obrazec, ki omogoča izračunavanje stopnje pa je

$\deg f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}.$

Zunanje povezave

• Stopnja polinoma na MathWorld (v angleščini)
• Stopnja polinoma v Art of Problem Solving (v angleščini)