Cliffordov torus

Stereografska projekcija Cliffordovega torusa, ki izvaja enostavno vrtenje.

Cliffordov torus je v geometrijski topologiji posebna vrsta torusa, ki se nahaja v prostoru R⁴. Lahko ga obravnavamo kot torus, ki se nahaja v C² ker je C² topološko enak kot R⁴. Razen tega vsaka točka Cliffordovega torusa leži na stalni razdalji od izhodišča. Zaradi tega lahko smatramo, da leži znotraj 3 sfere.

Cliffordov torus je znan tudi kot kvadratni torus, ker je izometričen s kvadratom, ki ima dolžino stranice enako 2π.

Definicija

enotsko krožnico S¹ v R² lahko parametriziramo s kotnimi koordinatami

$S^1 = \{ ( \cos{\theta}, \sin{\theta} ) \, | \, 0 \leq \theta < 2\pi \}.$

V drugi kopiji R² vzamemo kopijo enotske krožnice

$S^1 = \{ ( \cos{\phi}, \sin{\phi} ) \, | \, 0 \leq \phi < 2\pi \}$.

Potem je Cliffordov torus

$S^1 \times S^1 = \{ ( \cos{\theta}, \sin{\theta}, \cos{\phi}, \sin{\phi} ) \, | \, 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \phi < 2\pi \}$.

Ker pa je vsaka kopija $S^1$ potopljena podmnogoterost R², je Cliffordov torus potopljeni torus v R² × R² = R⁴.

Kadar je R⁴ podan s koordinatami x₁, y₁, x₂, y₂ je Cliffordov torus dan z

$x_1^2 + y_1^2 = 1 = x_2^2 + y_2^2 \,$. To pa je štirirazsežna sfera.

Zunanje povezave

• Cliffordov torus na SGP Web (v angleščini)
• Značilnosti Cliffordovega torusa (v angleščini)