Simetrična matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Simetrična matrika je kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic), ki je enaka svoji transponirani matriki. To lahko zapišemo kot

A = A^{\top}. \,\!.

Elementi simetrične matrike so enaki glede na glavno diagonalo, ki poteka od levega zgornjega dela do desnega spodnjega dela). Za elemente simetrične matrike velja

a_{ij} = a_{ji} \,\!

kjer smo z  a_{mn}\, označili element v m-ti vrstici in n-tem stolpcu.

Primeri simetričnih matrik


\begin{bmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & 6 \\
0 & 6 & 5 
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix} 
2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & -5\\
3 & -5 & 6\end{bmatrix}.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Simetrična matrika je vedno kvadratna (ima isto število stolpcev in vrstic). Za poljubno simetrično matriko  A \, z realnimi elementi velja

kjer je

  •  Q \, ortogonalna matrika, katere stolpci sestavljajo bazo iz lastnih vektorjev.
  •  D \, diagonalna matrika z lastnimi vrednostmi matrike  A \, na diagonali.
  • če obstoja matrika  A^{-1} \, potem je ta matrika simetrična, če je  A \, simetrična matrika.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]