Simetrična matrika

Simetrična matrika je kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic), ki je enaka svoji transponirani matriki. To lahko zapišemo kot

$A = A^{\top}. \,\!$.

Elementi simetrične matrike so enaki glede na glavno diagonalo, ki poteka od levega zgornjega dela do desnega spodnjega dela). Za elemente simetrične matrike velja

$a_{ij} = a_{ji} \,\!$

kjer smo z $a_{mn}\,$ označili element v m-ti vrstici in n-tem stolpcu.

Primeri simetričnih matrik

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{bmatrix}.$

Lastnosti

Simetrična matrika je vedno kvadratna (ima isto število stolpcev in vrstic). Za poljubno simetrično matriko $A \,$ z realnimi elementi velja

• vedno ima realne lastne vrednosti
• njeni lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, so ortogonalni drug na drugega
• iz njenih lastnih vektorjev lahko vedno zgradimo ortonormirano bazo
• matriko $A \,$ lahko vedno pretvorimo v diagonalno matriko $A = QDQT^{T} \,$

kjer je

• $Q \,$ ortogonalna matrika, katere stolpci sestavljajo bazo iz lastnih vektorjev.
• $D \,$ diagonalna matrika z lastnimi vrednostmi matrike $A \,$ na diagonali.
• če obstoja matrika $A^{-1} \,$ potem je ta matrika simetrična, če je $A \,$ simetrična matrika.

Zunanje povezave

• Simetrična matrika na MathWorld (v angleščini)
• Lastnosti simetričnih matrik (v angleščini)
• simetrične matrike (v angleščini)