Conwayjeva notacija poliedrov

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Ta primer kaže, kako lahko 11 novih oblik dobimo iz kocke z uporabo 3 postopkov. Novi poliedri so prikazani kot podobe na površini kocke, da so topološke spremembe bolj opazne. Oglišča so označena na vseh oblikah s krogci.

Conwayjeva notacija poliedrov se uporablja za opis poliedrov na osnovi osnovnega poliedra, ki ga spremenimo z različnimi operacijami.

Osnovni poliedri so platonska telesa, ki jih prikažemo s prvo črko njihovega imena (T, O, C, I, D) prizme (Pn) antiprizme (An) ali piramide (Yn). Vsak konveksni polieder lahko služi kot osnova, dokler lahko na njem izvajamo operacije.

Angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937) je razširil zamisel o uporabi operatorjev kot je prisekanost, da bi izdelal sorodne poliedre z isto simetrijo. Njegovi operatorji lahko generirajo vsa arhimedska telesa in Catalanova telesa in pravilnih osnovnih teles. Uporabljeni v skupini ti operatorji omogočajo nastanek mnogih poliedrov višjega reda.

Operacije nad poliedri[uredi | uredi kodo]

operator ime alternativna
konstrukcija
oglišča robovi stranske ploskve opis
osnovno telo v e f oblika osnove
r reflekt
(Hart)
v e f zrcalna slika kiralnih oblik
d dual f e v dualno telo osnovnega poliedra – vsako oglišče kreira novo stransko ploskev
a ambo e 2e 2+e robovi so nova oglišča, stara oglišča izginejo. (rektificirano)
j združen da e+2 2e e zametek je povečan s piramidami v dovolj veliki višini, tako, da imata 2 koplanarna trikotnika iz dveh različnih piramid skupen rob.
t prisekan dkd 2e 3e e+2 prisekana vsa oglišča.
-- -- dk 2e 3e e+2 dual oblike kis, (dvojna prisekanost)
-- -- kd e+2 3e 2e kis oblika duala
k kis dtd e+2 3e 2e dvigne piramido na vsaki stranski ploskvi.
c ožlebljen e+v 4e 2e+f nove šestkotne stranske ploskve se dodajo namesto robov.
- - dc 2e+f 4e e+v
e razširjen aa 2e 4e 2e+2 vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari nov štirikotnik. (kantelirano)
o orto de 2e+2 4e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se razdeli v n štirikotnike.
p propeler
(Hart)
v+2e 4e e+f vrtenje stranskih ploskev, ki ustvari štirikotnike na ogliščih (sebi-dualne)
- - dp e+f 4e v+2e
s prirezanost dg 2e 5e 3e+2 "razširi in zvij" – vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari dva nova trikotnika
g giro ds 3e+2 5e 2e vsaka n-kotnikova stranska ploskev se deli na n petkotnikov.
b nagnjen ta 4e 6e 2e+2 nove stranske ploskve se dodajo na mesta robov in oglišč omniprisekanost (znana tudi kot kantiprisekanost v višjih politopih).
m meta db & kj 2e+2 6e 4e n-kotne stranske ploskve se razdelijo v 2n trikotnikov

Posebne oblike postopek kis ima variacijo kn, ki doda piramide na stranske ploskve, ki imajo n stranic operator prisekanosti ima variante tn, ki samo prisekajo oglišča z redom n.

Operatorji se izvajajo od desne proti levi. Zgled: * dual tetraedra je dT

Vse operacije ohranjajo simetrijo, razen zvijanja.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Kocka lahko generira vse konveksne uniformne poliedre z oktaedersko simetrijo.

kocka
"osnova" (zametek)
ambo
(rektificirano)
prisekano dvojno prisekano razširjeno
(kantelirano)
nagnjeno
(omniprisekano)
prirezanost
Uniform polyhedron-43-t0.png
C
Uniform polyhedron-43-t1.png
aC = djC
Uniform polyhedron-43-t01.png
tC = dkdC
Uniform polyhedron-43-t12.png
tdC = dkC
Uniform polyhedron-43-t02.png
eC = aaC = doC
Uniform polyhedron-43-t012.png
bC = taC = dmC = dkjC
Uniform polyhedron-43-s012.png
sC = dgC
dualni združen kis
(razpolovljeno oglišče)
orto
(razpolovljen rob)
meta
(polno razpolovljeno)
giro
Uniform polyhedron-43-t2.png
dC
Rhombicdodecahedron.jpg
jC = daC
Triakisoctahedron.jpg
kdC = dtC
Tetrakishexahedron.jpg
kC = dtdC
Deltoidalicositetrahedron.jpg
oC = deC = daaC
Disdyakisdodecahedron.jpg
mC = dbC = kjC
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
gC = dsC

Generiranje pravilnih osnovnih teles[uredi | uredi kodo]

Vseh pet pravilnih poliedrov se lahko generira iz prizmatičnih generatorjev z nič ali eno operacijo.

Razširitev Conwayjevih simbolov[uredi | uredi kodo]

Zgornje operacije omogočajo, da se polpravilni poliedri in Catalanova telesa generirajo iz pravilnih poliedrov. S kombinacijo operacij lahko dobimo še več višjih operacij. Veliko zanimivih poliedrov višjega reda zahteva sestavo novih operatorjev.

Geometrijski umetnik George William Hart (rojen 1955) je kreiral operacijo, ki jo je imenoval propeler ter še eno operacijo z imenom reflekt s katero je kreiral zrcalne slike vrtečih se oblik.

  • "propeler" pomeni operacijo vrtenja, ki kreira štirikotnike na ogliščih. Ta operacija je sebi dualna: dpX = pdX.
  • "reflekt" kreira zrcalno sliko osnovnega telesa. Nima pravega efekta razen, če je osnovno telo narejeno z s ali g.

Geometrijske koordinate izpeljanih oblik[uredi | uredi kodo]

Primer: Dodekaederska osnova kot sferno tlakovanje
Uniform tiling 532-t0.png
D
Uniform tiling 532-t01.png
tD
Uniform tiling 532-t1.png
aD
Uniform tiling 532-t12.png
tdD
Uniform tiling 532-t02.png
eD
Uniform tiling 532-t012.png
teD
Spherical snub dodecahedron.png
sD
Uniform tiling 532-t2.png
dD
Icosahedral reflection domains.png
dteD
Primer: Osnova za evklidsko šestkotno tlakovanje (H)
Uniform tiling 63-t0.png
H
Uniform tiling 63-t01.png
tH
Uniform tiling 63-t1.png
aH
Uniform tiling 63-t12.png
tdH = H
Uniform tiling 63-t02.png
eH
Uniform tiling 63-t012.png
teH
Uniform tiling 63-snub.png
sH
Uniform tiling 63-t2.png
dH
Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
dtH
Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg
daH
Uniform tiling 63-t2.png
dtdH = dH
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
deH
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
dteH
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
dsH
Primer: Prosojne osnove za tetraeder (T)
Tetrahedron.jpg
T
Truncatedtetrahedron.jpg
tT
Octahedron.svg
T
Truncatedtetrahedron.jpg
tdT
Cuboctahedron.jpg
eT
Truncatedoctahedron.jpg
bT
Icosahedron.jpg
sT
Tetrahedron.jpg
dT
Triakistetrahedron.jpg
dtT
Hexahedron.jpg
jT
Triakistetrahedron.jpg
kT
Rhombicdodecahedron.jpg
oT
Tetrakishexahedron.jpg
mT
Dodecahedron.jpg
gT
Primer: Osnova za hiperbolično sedemkotno tlakovanje
{7,3}
"osnova"
prisekano ambo
(rektificirano)
dvojno prisekano razširjeno
(kantelirano)
bevel
(omniprisekano)
prirezana oblika
Uniform tiling 73-t0.png Uniform tiling 73-t01.png Uniform tiling 73-t1.png Uniform tiling 73-t12.png Uniform tiling 73-t02.png Uniform tiling 73-t012.png Uniform tiling 73-snub.png
dual združeno kis
(razpolovitev oglišča)
orto
(razpolovitev roba)
meta
(polna razpolovitev)
giro
Uniform tiling 73-t2.png Ord7 triakis triang til.png Order73 qreg rhombic til.png Order3 heptakis heptagonal til.png Deltoidal triheptagonal til.png Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Ord7 3 floret penta til.png

Ostali poliedri[uredi | uredi kodo]

Tetraedeska simetrija[uredi | uredi kodo]

Oktaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Ikozaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

Rombska:

Trikotni:

Dualni trikotni:

Trikotni kiralni:

Dualni trikotni kiralni:

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]