Oktaedrska simetrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
točkovne grupe v treh razsežnostih
Sphere symmetry group cs.png
involucijska simetrija
Cs, [1], (*)
Sphere symmetry group c3v.png
ciklična simetrija
Cnv, [n], (*nn)
Sphere symmetry group d3h.png
diedrska simetrija
Dnh, [n,2], (*n22)
poliedrska grupa, [n,3], (*n32)
Sphere symmetry group td.png
tetraedrska simetrija
Td, [3,3], (*332)
Sphere symmetry group oh.png
oktaedrska simetrija
Oh, [4,3], (*432)
Sphere symmetry group ih.png
ikozaedrska simetrija
Ih, [5,3], (*532)
Osnovna domena oktaedrske simetrije.
Kocka je najbolj znana oblika z oktaedrsko simetrijo.
Oktaedrska vrtilna grupa O z osnovno domeno

Oktaedrska simetrija je simetrija pravilnega oktaedra. To je simetrija, ki ohranja orientacijo. Ima red simetrije enak 48, kar vključuje tudi preslikave, ki vključujejo zrcaljenje in vrtenje. Kocka ima enako skupino simetrij, ker je dualno telo oktaedra.


Podrobnosti[uredi | uredi kodo]

Kiralna in polna (akiralna) oktaederska simetrija so točkovne grupne simetrije ali simetrije na sferi z največjo simetrijskimi grupami, ki so primerljive s translacijsko simetrijo. So med kristalne točkovne grupe kubičnega kristalnega sistema.

Kiralna oktaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

O, 432 ali [4,3]+ reda 24 so kiralni oktaedersko simetrijo ali vrtilno oktaedersko simetrijo. Ta grupa je podobna kiralni tetraederski simetriji T, toda C2 postanejo osi C4 ter šest dodatnih osi C2 z srednjimi točkami robov kocke. Td im O sta izomorfni kot abstraktni grupi, obe odgovarjata S4, ki je simetrijska grupa za štiri objekte. Td je unija T in množice, ki jo dobimo tako, da kombiniramo vsak element O \ T z inverzijo. O je vrtilna grupa kocke in pravilnega oktaedra.


Podgrupe kiralne oktaederske simetrije[uredi | uredi kodo]

Schoenfliesova
notacija
Coxeterjeva
notacija
notacija
orbifold
Hermann
Mauguinova
notacija
Order indeks Odnosi med grupami
O [4,3]+ 432 432 24 1 Chiral octahedral subgroup tree sl.png
T [3,3]+ 332 23 12 2
D4 [4,2]+ 422 422 8 3
D3 [3,2]+ 322 322 6 4
D2 [2,2]+ 222 222 4 6
C4 [4]+ 44 4 4 6
C3 [3]+ 33 3 3 8
C2 [2]+ 22 2 2 12
S1 [ ]+ 11 1 1 24

Konjugirani razredi[uredi | uredi kodo]

  • inverzija
  • 6 x zrcaljenje z vrtenjem za 90º
  • 8 x zrcaljenje z vrtenjem za 60º
  • 3 x zrcaljenje v ravnini pravokotni z 4-kratno osjo
  • 6 x zrcaljenje v ravnini pravokotni z 2-kratno osjo

Akiralna oktaederska simetrija[uredi | uredi kodo]

  • Oh, *432, [4,3]+ ali m3m reda 48 ima akiralno oktaedersko simetrijo ali polno oktaedersko simetrijo. Ta grupa ima enake vrtilne osi kot so O, ampak in s tem imajo izčrpne zrcalne ravnine Th in Th. Ta grupa je izomorfna z S4.C4 in je tako polna simetrijska grupa kocke in oktaedra. Je hiperoktaederska grupa za n=3.
Dual Cube-Octahedron.svg
Telo kocka-oktaeder.
Disdyakisdodecahedron.jpg
Vsaka stranska ploskev tega disdiakisnega dodekaedra je osnovna domena
Sphere symmetry group oh.png
Oktaedrska grupa Oh z osnovno domeno

Z 4-kratnimi osmi kot koordinatnimi osmi je osnovna domena Oh dana z 0 ≤ xyz. Za objekte s to simetrijo je značilen del objekta v osnovni domeni, kot je na primer kocka je dana z z = 1 in za oktaeder z x + y +z =1.


Podgrupe polne oktaederske simetrije[uredi | uredi kodo]

Schoenfliesova
notacija
Coxeterjeva
notacija
notacija
orbifold
Hermann
Mauguinova
notacija
red indeks odnosi med podgrupami
Oh [4,3] *432 m3m 48 1 oktaedrske podgrupe
O [4,3]+ 432 432 24 2
Td [3,3] *332 43m 24 2
Th [4,3+] 3*2 m3 24 2
D4h [4,2] *422 4/mmm 16 3
T [3,3]+ 332 23 12 4
D3d [2+,6] 2*3 3m 12 4
D2d [2+,4] 2*2 42m 8 6
D4 [4,2]+ 422 422 8 6
C4h [4+,2] 4* 4/m 8 6
C4v [4] *44 4mm 8 6
D2h [2,2] *222 mmm 8 6
D3 [3,2]+ 322 32 6 8
C3v [3] *33 3m 6 8
S6 [2+,6+] 3 6 8
D2 [2,2]+ 222 222 4 12
C2h [2,2+] 2* 2/m 4 12
C2v [2] *22 mm2 4 12
C4 [4]+ 44 4 4 12
S4 [2+,4+] 8 4 12
C3 [3]+ 33 3 3 16
C2 [2]+ 22 2 2 24
S2 [2+,2+] × 1 2 24
Cs [ ] * 2 or m 2 24
C1 [ ]+ 11 1 1 48


Konjugirani razredi[uredi | uredi kodo]

  • identiteta
  • 6 x vrtenje za 90º
  • 8 x vrtenje za 120º
  • 3 x vrtenje za 180º okoli 4-kratne osi
  • 3 x vrtenje za 180º okoli 2-kratne osi

Oktaederska simetrija Bolzove ploskve[uredi | uredi kodo]

V teoriji Riemannove ploskve se včasih [[Bolzova ploskev imenuje Bolzova krivulja. Dobimo jo kot košato dvojno pokrivalo Riemannove sfere z delitvijo na množico oglišč pravilnega včrtanega oktaedra. Njegove grupe avtomorfizma hipereliptično vključevanje, ki razpade v dva dela , ki se prekrivata. Kvocient z redom podgrupe 2, ki je generirana z hipereliptičnim vključevanjem nam da natančno grupo simetrij oktaedra. Med mnogimi pomembnimi lastnostmi Bolzovih ploskev je lastnost, ki nam da največjo sistolo med vsemi hiperboličnimi ploskvami, z rodom 2.


Telesa z oktaedersko kiralno simetrijo[uredi | uredi kodo]

Skupina Ime Slika Stranske ploskve Robovi Oglišča
arhimedsko telo prirezana kocka Snubhexahedronccw.jpg 38 60 24
Catalanovo telo petstrani ikozitetraeder Pentagonalicositetrahedronccw.jpg 24 60 38

Telesa s polno oktaedersko simetrijo[uredi | uredi kodo]

Skupina teles Ime Slika Stranske ploskve Robovi Oglišča
platonsko telo kocka Hexahedron (cube) 6 12 8
oktaeder Octahedron 8 12 6
arhimedsko telo kubooktaeder Cuboctahedron.jpg 14 24 12
prisekana kocka Truncatedhexahedron.jpg 14 36 24
prisekan oktaeder Truncatedoctahedron.jpg 14 36 24
rombikubooktaeder Rhombicuboctahedron.jpg 26 48 24
prisekan kubooktaeder Truncatedcuboctahedron.jpg 26 72 48
Catalanovo telo rombski dodekaeder Rhombicdodecahedron.jpg 14 24 12
triakisni oktaeder Triakisoctahedron.jpg 24 36 14
tetrakisni heksaeder Tetrakishexahedron.jpg 24 36 14
deltoidni ikozitetraeder Deltoidalicositetrahedron.jpg 24 48 26
disdiakisni dodekaeder Disdyakisdodecahedron.jpg 48 72 26
pravilni
sestav
poliedrov
stela oktangula Stella octangula.png 8 12 8
kocka in oktaeder Compound of cube and octahedron.png 14 24 14

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]