Rektifikacija (geometrija)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prisekana kocka je kubooktaeder – robovi so zmanjšani do ogliščin oglišča so razširjena do novih stranskih ploskev.
Birektificirana (dvojno rektificirana) kocka je oktaeder – stranske ploskve so zmanjšane v točke in nove stranske ploskve se nahajajo v prvotnih ogliščih.

Rektifikacija je v geometriji postopek v katerem prisekamo politop tako, da označimo središčne točke vseh njegovih robov in odrežemo oglišča v teh točkah. Politop, ki nastane, je vezan na sliko oglišča in na odrezane facete izhodiščnega politopa.

Zgled rektifikacije kot dokončno prisekanje[uredi | uredi kodo]

Rektifikacija je končni postopek pri prisekovanju. Na kocki to zaporedje kaže štiri korake med pravilno in rektificirano obliko Cube truncation sequencexx.svg

Rektifikacije višjega reda[uredi | uredi kodo]

Rektifikacije višjega reda se lahko izvedejo na pravilnih politopih z višjimi razsežnostmi. Najvišji red rektifikacije kreira dualne politope. Rektifikacija odreže robove tako, da postanejo točke. Birektifikacija odreže stranske ploskve tako, da te postanejo točke. Trirektifikacija odreže celice v točke in končna rektifikacija je dualni politop.

Primer birektifikacije kot končne prisekanosti[uredi | uredi kodo]

Birectified cube sequence sl.png

V mnogokotnikih[uredi | uredi kodo]

Dualni poligon je isto kot njegova rektificirana oblika.

V poliedrih in ravninskem tlakovanju[uredi | uredi kodo]

Vsako platonsko telo in njegov dual imajo isti rektificirani polieder.

Rektificirani polieder se kaže kot, da se lahko izrazi kot kombinacija imen izvornega telesa in njegovega duala

  1. rektificiran tetraeder katerega dual je tetraeder se imenuje tetraeder, ki ga poznamo tudi kot oktaeder
  2. rektificirani oktaeder, katerega dual je kocka, se imenuje kubooktaeder
družina starševsko telo rektifikacija dualno telo
[3,3] Uniform polyhedron-33-t0.png
tetraeder
Uniform polyhedron-33-t1.png
tetraeder
Uniform polyhedron-33-t2.png
tetraeder
[4,3] Uniform polyhedron-43-t0.png
kocka
Uniform polyhedron-43-t1.png
kubooktaeder
Uniform polyhedron-43-t2.png
oktaeder
[5,3] Uniform polyhedron-53-t0.png
dodekaeder
Uniform polyhedron-53-t1.png
ikozidodekaeder
Uniform polyhedron-53-t2.png
ikozaeder
[6,3] Uniform tiling 63-t0.png
heksagonalno tlakovanje
Uniform tiling 63-t1.png
triheksagonalno tlakovanje
Uniform tiling 63-t2.png
trikotno tlakovanje
[7,3] Uniform tiling 73-t0.png
heptagonalno tlakovanje reda 3
Uniform tiling 73-t1.png
triheptagonalno tlakovanje
Uniform tiling 73-t2.png
trikotno tlakovanje reda 7
[4,4] Uniform tiling 44-t0.png
kvadratno tlakovanje
Uniform tiling 44-t1.png
kvadratno tlakovanje
Uniform tiling 44-t2.png
kvadratno tlakovanje
[5,4] Uniform tiling 54-t0.png
pentagonalno tlakovanje reda 4
Uniform tiling 54-t1.png
tetrapentagonalno tlakovanje
Uniform tiling 54-t2.png
kvadratno tlakovanje reda 5

V nepravilnih poliedrih[uredi | uredi kodo]

Kadar polieder ni pravilen vedno niso srednje točke okoli oglišča v isti ravnini (koplanarne). Kljub temu je možna rektifikacija.

V polihoronih in v teselacijah trirazsežnega satovja[uredi | uredi kodo]

Vsak konveksni pravilni polihoronima rektificirano obliko uniformnega polihorona.

Pravilni polihoron {p, q, r} ima celice {p, q} dveh vrst rektificirane {p, q}, ki so ostale od izvornih celic in novih celic {q, r} poliedra, ki so nastale v vsakem od prirezanih oglišč.

Zgledi:

družina starševsko telo rektifikacija Birektifikacija
(dualna rektifikacija)
Trirektifikacija
(dualna)
[3,3,3] Schlegel wireframe 5-cell.png
5-celica
Schlegel half-solid rectified 5-cell.png
rektificirana 5-celica
Schlegel half-solid rectified 5-cell.png
rektificirana 5-celica
Schlegel wireframe 5-cell.png
5-celica
[4,3,3] Schlegel wireframe 8-cell.png
teserakt
Schlegel half-solid rectified 8-cell.png
rektificirani teserakt
Schlegel half-solid rectified 16-cell.png
rektificirana 16-celica
(24-celica)
Schlegel wireframe 16-cell.png
16-celica
[3,4,3] Schlegel wireframe 24-cell.png
24-celica
Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png
rektificirana 24-celica
Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png
rektificirana 24-celica
Schlegel wireframe 24-cell.png
24-celica
[5,3,3] Schlegel wireframe 120-cell.png
120-celica
Rectified 120-cell schlegel halfsolid.png
rectificirana 120-celica
Rectified 600-cell schlegel halfsolid.png
rektificirana 600-celica
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
600-celica
[4,3,4] Partial cubic honeycomb.png
kubično satovje
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje
Partial cubic honeycomb.png
kubično satovje
[5,3,4] Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
Order-4 dodecahedral
(Ni slike)
rektificirano dodekaedersko satovje reda 4
(Ni slike)
rektificirano kubično satovje reda 5
Hyperb gcubic hc.png
kubično satovje reda 5

Red rektifikacije[uredi | uredi kodo]

Prvi red rektifikacije odreže robove do točk. Kadar je politop pravilni politop lahko njegovo obliko prikažemo z razširjenim Schläflijevim simbolom, ki ima obliko t1{p,q,...}.

Rektifikacija drugega reda se imenuje birektifikacija. Če je pravilna, jo označujemo s t2{p,q,...}.

Pri poliedrih birektifikacija naredi dualne poliedre.

Rektifikacije višjega reda se lahko konstruirajo za politope višjega reda. V splošnem n-rektifikacija odreže n-stransko ploskev do točk.

Kadar n-politop rektificiramo, se njegove facete zmanšajo v točke in politop, ki ga dobimo, je njegov dual.

Notacije in facete[uredi | uredi kodo]

Pravilni mnogokotniki[uredi | uredi kodo]

Facete so robovi, ki jih označujemo z {2}.

name
{p}
Coxeter-Dynkin t-notacija
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png t0{p} \begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 2 \end{Bmatrix}
rektificirano CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.png t1{p} \begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 2 \end{Bmatrix}

Pravilni poliedri in tlakovanja[uredi | uredi kodo]

Facete so pravilni mnogokotniki.

name
{p,q}
Coxeter-Dynkin t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png t0{p,q} \begin{Bmatrix} p , q  \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix}
rektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png t1{p,q} \begin{Bmatrix} p \\ q  \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q \end{Bmatrix}
birektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png t2{p,q} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q \end{Bmatrix}

Pravilni polihoroni in satovje[uredi | uredi kodo]

Facete so pravilni ali rektificirani poliedri.

name
{p,q,r}
Coxeter-Dynkin t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
starševski CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png t0{p,q,r} \begin{Bmatrix} p , q , r \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}
rektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png t1{p,q,r} \begin{Bmatrix} p \ \ \\ q , r \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , r \end{Bmatrix}
birektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png t2{p,q,r} \begin{Bmatrix} q , p \\ r \ \ \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q \\ r \end{Bmatrix}
trirektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png t3{p,q,r} \begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} r , q \end{Bmatrix}

Pravilni 5-politopi (politoroni) in 4-razsežno satovje[uredi | uredi kodo]

Facete so pravilni ali rektificirani polihoroni.

name
{p,q,r,s}
Coxeter-Dynkinov t-notation
Schläflijev simbol
navpični Schläflijev simbol
ime faceta-1 faceta-2
Parent CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t0{p,q,r,s} \begin{Bmatrix} p , q , r , s \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p , q , r \end{Bmatrix}
rektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t1{p,q,r,s} \begin{Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q , r , s \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \ \ \\ q , r \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , r , s \end{Bmatrix}
birektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.png t2{p,q,r,s} \begin{Bmatrix} q , p \\ r , s \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \\  r \ \ \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q \ \ \\ r , s \end{Bmatrix}
trirektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.pngCDel s.pngCDel node.png t3{p,q,r,s} \begin{Bmatrix} r , q , p \\ s \ \ \ \ \ \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} r , q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} r , q \\ s \ \ \end{Bmatrix}
kvadrirektificirani CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node 1.png t4{p,q,r,s} \begin{Bmatrix} s, r, q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} s , r , q \end{Bmatrix}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]