Seznam uniformnih poliedrov po sliki oglišč

Polieder
razred	število in lastnosti
platonska telesa	(5, konveksna, pravilna)
arhimedska telesa	(13, konveksna, uniformna)
Kepler-Poinsotov polieder	(4, pravilni, nekonveksni)
uniformni poliedri	(75, uniformni)
prizmatoid: prizme, antiprizma itd.	(4 neskončni uniformni razredi)
tlakovanja poliedrov	(11 pravilnih v ravnini)
kvazi-pravilni poliedri	(8)
Johnsonovo telo	(92 konveksna, neuniformna)
piramide in bipiramide	(neskončne)
stelacije	stelacija
poliederski sestav	(5 pravilnih)
deltaedri	(Deltaedri, stranske ploskve so enakostranični trikotniki)
prirezani poliedri	(12 uniformnih niso zrcalne slike)
zonoeder	(Zonoedri, stranske ploskve imajo 180° simetrijo)
dualni polieder
sebi dualni polieder	(neskončni)
Catalanovo telo	(13, arhimedski dual)

Seznam uniformnih poliedrov po sliki oglišč vsebuje pregled uniformnih poliedrov v odvisnosti od njihove slike oglišč. Nekateri uniformni poliedri se dobijo s prisekovanjem oglišč pravilnih ali kvazipravilnih poliedrov.

Slike oglišč poliedrov

Odnosi postanejo opazni s proučevanjem slik oglišča, ki jih dobimo z naštevanjem stranskih ploskev, ki so sosednje vsakemu oglišču. Primer: kocka ima sliko oglišč 4.4.4, kar pomeni tri sosednje stranske ploskve. Možni pa so:

• 3 enakostranični trikotniki
• 4 kvadrati
• 5 pravilnih petkotnikov
• 6 pravilnih šestkotnikov
• 8 pravilnih osemkotnikov

Nekatere stranske ploskve izgledajo kot, da so obratno orientirane, kar zapišemo kot

• -3 trikotnik z obratno orientacijo (pogosto zapišemo kot 3/2)

Drugi pa potekajo skozi izhodišče, kar zapišemo kot

• 6^* to pa je šestkotnik, ki gre skozi izhodišče.

Johnson je razvrstil uniformne poliedre na naslednji način:

Primeri slik oglišč

1. pravilni (s pravilno mnogokotniško sliko oglišč): p^q, z Wythoffovim simbolom q|p 2
2. kvazi-pravilni (pravokotne ali ditrigonalne slike oglišč): p.q.p.q 2|p q ali p.q.p.q.p.q, Wythoffov simbol 3|p q
3. verzi-pravilni (ortodiagonalne slike oglišč), p.q*.-p.q*, Wythoffov simbol q q|p
4. prisekani pravilni (enakokrake trikotne slike oglišč): p.p.q, Wythoffov simbol q 2|p
5. verzi-kvazi-pravilni (dipteroidalne slike oglišč), p.q.p.r Wythoffov simbol q r|p
6. kvazi-kvazi-pravilni (trapezoidalne slike oglišč): p*.q.p*.-r q.r|p or p.q*.-p.q* p q r|
7. prisekani kvazi-pravilnir (raznostranične trikotne slike oglišč), p.q.r Wythoffov simbol p q r|
8. prirezani kvazi-pravilni (petkotne, šestkotne ali osemkotne slike oglišč), Wythoffov simbol p q r|
9. prizme (prisekani hozoedri),
10. antiprizme in križne antiprizme (prirezani diedri)

Prisekane oblike

Pravilni poliedri in njihove prisekane oblike

slika oglišč	grupa	A: pravilni: p.p.p	B: prisekani pravilni: p.p.r
3.3.3 3.6.6	Td	tetraeder 3|2 3 W1, U01, K06, C15 V 4,E 6,F 4=4{3} χ=2	prisekani tetraeder 2 3|3 W6, U02, K07, C16 V 12,E 18,F 8=4{3}+4{6} χ=2
3.3.3.3 4.6.6	Oh	oktaeder 4|2 3, 34 W2, U05, K10, C17 V 6,E 12,F 8=8{3} χ=2	prisekani oktaeder 2 4|3 W7, U08, K13, C20 V 24,E 36,F 14=6{4}+8{6} χ=2
4.4.4 3.8.8	Oh	heksaeder (kocka) 3|2 4 W3, U06, K11, C18 V 8,E 12,F 6=6{4} χ=2	prisekani heksaeder 2 3|4 W8, U09, K14, C21 V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8} χ=2
3.3.3.3.3 5.6.6	Ih	ikozaeder 5|2 3 W4, U22, K27, C25 V 12,E 30,F 20=20{3} χ=2	prisekani ikozaeder 2 5|3 W9, U25, K30, C27 E 60,V 90,F 32=12{5}+20{6} χ=2
5.5.5 4.10.10	Ih	dodekaeder 3|2 5 W5, U23, K28, C26 V 20,E 30,F 12=12{5} χ=2	prisekani dodekaeder 2 3|5 W10, U26, K31, C29 V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10} χ=2
5.5.5.5.5 5/2.10.10	Ih	veliki dodekaeder 5/2|2 5 W21, U35, K40, C44 V 12,E 30,F 12=12{5} χ=-6	prisekani veliki dodekaeder 25/2|5 W75, U37, K42, C47 V 60,E 90,F 24=12{5/2}+12{10} χ=-6
3.3.3.3.3 5/2.6.6.	Ih	veliki ikozaeder (16-to zvezdenje ikozaedra) 5/2|2 3 W41, U53, K58, C69 V 12,E 30,F 20=20{3} χ=2	veliki prisekani ikozaeder 25/2|3 W95, U55, K60, C71 V 60,E 90,F 32=12{5/2}+20{6} χ=2
5/2.5/2.5/2.5/2.5/2	Ih	mali zvezdni dodekaeder 5|25/2 W20, U34, K39, C43 V 12,E 30,F 12=12{5/2} χ=-6
5/2.5/2.5/2	Ih	veliki zvezdni dodekaeder 3|25/2 W22, U52, K57, C68 V 20,E 30,F 12=12{5/2} χ=2

Dodatno obstojajo še tri kvazi prisekane oblike. Te so tudi poseben razred prisekanih pravilnih poliedrov.

slike oglišč	groupa Oh	groupa Ih	groupa Ih
3.8/3.8/3 5.10/3.10/3 3.10/3.10/3	zvezdni prisekan heksaeder (kvaziprisekani heksaeder) (zvezdnoprisekana kocka) 2 3|4/3 W92, U19, K24, C66 V 24,E 36,F 14=8{3}+6{8/3} χ=2	mali zvezdni prisekan dodekaeder (kvaziprisekan mali zvezdni dodekaeder) (mali zvezdno prisekani dodekaeder) 2 5|5/3 W97, U58, K63 V 60,E 90,F 24=12{5}+12{10/3} χ=-6	veliki zvezdni prisekani dodekaeder (kvaziprisekan zvezdni dodekaeder) (veliki zvezdnoprisekani dodekaeder) 2 3|5/3 W104, U66, K71, C83 V 60,E 90,F 32=20{3}+12{10/3} χ=2

Prisekane oblike kvazi-pravilnih poliedrov

Stolpec A vsebuje nekatere kvazi-pravilne poliedre, stolpec B vsebuje običajno prisekane oblike, stolpec C vsebuje kvazi-prisekane oblike, stolpec D prikazuje različne načine prisekovanja. Vse te prisekane oblike imajo imajo sliko oglišč p.q.r in Wythoffov simbol p q r|.

slika oglišč	grupa	A: kvazi-pravilni: p.q.p.q	B: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r	C: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r	D: prisekani kvazi-pravilni: p.q.r
3.4.3.4 4.6.8 4.6.8/3 8.6.8/3	Oh	kubooktaeder 2|3 4 W11, U07, K12, C19 V 12,E 24,F 14=8{3}+6{4} χ=2	veliki rombikubooktaeder (rombiprisekani kubooktaeder) (prisekani kubooktaeder) 2 3 4| W15, U11, K16, C23 V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8} χ=2	veliki prisekani kubooktaeder (kvaziprisekani kubooktaeder) 2 34/3| W93, U20, K25, C67 V 48,E 72,F 26=12{4}+8{6}+6{8/3} χ=2	kubiprisekanikubooktaeder (kuboprisekani kubooktaeder) 3 44/3| W79, U16, K21, C52 V 48,E 72,F 20=8{6}+6{8}+6{8/3} χ=-4
3.5.3.5 4.6.10 4.6.10/3 10.6.10/3	Ih	ikozidodekaeder 2|3 5 W12, U24, K29, C28 V 30,E 60,F 32=20{3}+12{5} χ=2	veliki rombiikozidodekaeder (rombiprisekani ikozidodekaeder) (prisekani ikozidodekaeder) 2 3 5| W16, U28, K33, C31 V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10} χ=2	veliki prisekani ikozidodekaeder (veliki kvaziprisekani ikozidodekaeder) 2 35/3| W108, U68, K73, C87 V 120,E 180,F 62=30{4}+20{6}+12{10/3} χ=2	ikoziprisekani dodekaeder (ikozidodekaprisekani ikozidodekaeder) 3 55/3| W84, U45, K50, C57 V 120,E 180,F 44=20{6}+12{10}+12{10/3} χ=-16
5/2.5.5/2.5 4.10.10/3	Ih	dodekadodekaeder 2 5|5/2 W73, U36, K41, C45 V 30,E 60, F 24=12{5}+12{5/2} χ=-6		prisekani dodekadodekaeder (kvaziprisekani dodekaeder) 2 55/3| W98, U59, K64, C75 V 120,E 180,F 54=30{4}+12{10}+12{10/3} χ=-6
3.5/2.3.5/2	Ih	veliki ikozidodekaeder 2 3|5/2 W94, U54, K59, C70 V 30,E 60, F 32=20{3}+12{5/2} χ=2

Poliedri s skupnimi robovi in oglišči

Pravilni

V preglednici je prikazanih nekaj odnosov. Vsi so praviloma ločeni od tetrahemiheksadronov, ki pa je verzi pravilen.

slika oglišč	V	E	group	regular	regular/versi-regular
3.3.3.3 3.4*.-3.4*	6	12	Oh	oktaeder 4|2 3 W2, U05, K10, C17 F 8=8{3} χ=2	tetrahemiheksaeder 3<te so tudi/SUP>/23|2 W67, U04, K09, C36 F 7=4{3}+3{4} χ=1
3.3.3.3.3 5.5.5.5.5	12	30	Ih	ikozaeder 5|2 3 W4, U22, K27 F 20=20{3} χ=2	veliki dodekaeder 5/2|2 5 W21, U35, K40, C44 F 12=12{5} χ=-6
5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 3.3.3.3.3	12	30	Ih	mali zvezdni dodekaeder 5|25/2 W20, U34, K39, C43 F 12=12{5/2} χ=-6	veliki ikozaeder (16-to zvezdenje ikozaedra) 5/2|2 3 W41, U53, K58, C69 F 20=20{3} χ=2

Kvazi-pravilni in verzi-pravilni

Pravokotne slike oglišč ali prekrižani pravokotniki in prekrižani pravokotniki so v prvi koloni so kvazi pravilni v drugi in tretji koloni pa so hemiedri s stranskimi ploskvami, ki tečejo skozi izhodišče in jih nekateri avtorji imenujejo verzi pravilni.

slika oglišč	V	E	grupa	kvazi-pravilni: p.q.p.q	verzi-pravilni: p.s*.-p.s*	verzi-pravilni: q.s*.-q.s*
3.4.3.4 3.6*.-3.6* 4.6*.-4.6*	12	24	Oh	kubooktaeder 2|3 4 W11, U07, K12, C19 F 14=8{3}+6{4} χ=2	oktahemioktaeder 3/23|3 W68, U03, K08, C37 F 12=8{3}+4{6} χ=0	kubohemioktaeder 4/34|3 W78, U15, K20, C51 F 10=6{4}+4{6} χ=-2
3.5.3.5 3.10*.-3.10* 5.10*.-5.10*	30	60	Ih	ikozidodekaeder 2|3 5 W12, U24, K29, C28 F 32=20{3}+12{5} χ=2	mali ikozihemidodekaeder 3/23|5 W89, U49, K54, C63 F 26=20{3}+6{10} χ=-4	mali dodekahemidodekaeder 5/45|5 W91, U51, K56, 65 F 18=12{5}+6{10} χ=-12
3.5/2.3.5/2 3.10*.-3.10* 5/2.10*.-5/2.10*	30	60	Ih	veliki ikozidodekaeder 2|5/23 W94, U54, K59, C70 F 32=20{3}+12{5/2} χ=2	veliki ikozihemidodekaeder 3 3|5/3 W106, U71, K76, C85 F 26=20{3}+6{10/3} χ=-4	veliki dodekahemidodekaeder 5/35/2|5/3 W107, U70, K75, C86 F 18=12{5/2}+6{10/3} χ=-12
5.5/2.5.5/2 5.6*.-5.6* 5/2.6*.-5/2.6*	30	60	Ih	dodekadodekaeder 2|5/25 W73, U36, K41, C45 F 24=12{5}+12{5/2} χ=-6	veliki dodekahemiikozieder 5/45|3 W102, U65, K70, C81 F 22=12{5}+10{6} χ=-8	mali dodekahemiikozieder 5/35/2|3 W100, U62, K67, C78 F 22=12{5/2}+10{6} χ=-8

Ditrigonalni in verzi-pravilni

Ditrigonalne (to je di(2) -tri(3)-kotne) slike oglišč so 3-kratni analogi pravokotnika. Ti so vsi kvazi-pravilni, ker so vsi robovi izomorfni. Sestava 5-kock vsebuje isto množico robov in oglišč. Prekrižane oblike imajo ne-orientabilne slike oglišč tako, da oznaka "-" ni bila uporabljena in "*" stranske ploskve tečejo blizu in ne skozi izhodišče.

slika oglišča	V	E	grupa	ditrogonalna	prekrižana-ditrogonalna	prekrižana-ditrogonalna
5/2.3.5/2.3.5/2.3 5/2.5*.5/2.5*.5/2.5* 3.5*.3.5*.3.5*	20	60	Ih	mali ditrigonalni ikozidodekaeder 3|5/23 W70, U30, K35, C39 F 32=20{3}+12{5/2} χ=-8	ditrigonalni dodekadodekaeder 3|5/35 W80, U41, K46, C53 F 24=12{5}+12{5/2} χ=-16	veliki ditrigonalni ikozidodekaeder 3/2|3 5 W87, U47, K52, C61 F 32=20{3}+12{5} χ=-8

Verzi-kvazi-pravilni in kvazi-kvazi-pravilni

Skupina III: trapezoid ali prekrižane trapezoidne slike oglišč. Prvi stolpec vključuje konveksne rombske poliedre, ki nastanejo z vključitvijo dveh kvadratov v sliko oglišč kubooktaedra in ikozidodekaedra.

vertex figure	V	E	grupa	trapezoid: p.q.r.q	prekrižani-trapezoid: p.s*.-r.s*	prekrižani-trapezoid: q.s*.-q.s*
3.4.4.4 3.8*.-4.8* 4.8*.-4.8*	24	48	Oh	mali rombikubooktaeder (rombikubooktaeder) 3 4|2 W13, U10, K15, C22 F 26=8{3}+(6+12){4} χ=2	mali kubokubooktaeder 3/24|4 W69, U13, K18, C38 F 20=8{3}+6{4}+6{8} χ=-4	mali rombiheksaeder 2 3/2 4| W86, U18, K23, C60 F 18=12{4}+6{8} χ=-6
3.8/3.4.8/3 3.4*.-4.4* 8/3.4*.-8/3.4*	24	48	Oh	veliki kubikubooktaeder 3 4|4/3 W77, U14, K19, C50 F 20=8{3}+6{4}+6{8/3} χ=-4	nekonveksni veliki rombikubooktaeder (kvazirombikubooktaeder) 3/24|2 W85, U17, K22, C59 F 26=8{3}+(6+12){4} χ=2	veliki rombiheksaeder 2 4/33/2| W103, U21, K26, C82 F 18=12{4}+6{8/3} χ=-6
3.4.5.4 3.10*.-5.10* 4.10*.-4.10*	60	120	Ih	mali rombikozidodekaeder (rombikozidodekaeder) 3 5|2 W14, U27, K32, C30 F 62=20{3}+30{4}+12{5} χ=2	mali dodecikozidodekaeder 3/25|5 W72, U33, K38, C42 F 44=20{3}+12{5}+12{10} χ=-16	mali rombidodekaeder 25/25| W74, U39, K44, C46 F 42=30{4}+12{10} χ=-18
5/2.4.5.4 5/2.6*.-5.6* 4.6*.-4.6*	60	120	Ih	rombidodekadodekaeder 5/25|2 W76, U38, K43, C48 F 54=30{4}+12{5}+12{5/2} χ=-6	ikozidodekadodekaeder 5/35|3 W83, U44, K49, C56 F 44=12{5}+12{5/2}+20{6} χ=-16	rombiikozaeder 2 35/2| W96, U56, K61, C72 F 50=30{4}+20{6} χ=-10
3.10/3.5/2.10/3 3.4*.-5/2.4* 10/3.4*.-10/3.4*	60	120	Ih	veliki dodeciikozidodekaeder 5/23|5/3 W99, U61, K66, C77 F 44=20{3}+12{5/2}+12{10/3 } χ=-16	nekonveksni veliki rombiikozidodekaeder (kvazirombiikozidodekaeder) 5/33|2 W105, U67, K72, C84 F 62=20{3}+30{4}+12{5/2} χ=2	veliki rombidodekaeder 2 3/25/3| W109, U73, K78, C89 F 42=30{4}+12{10/3} χ=-18
3.6.5/2.6 3.10*.-5/2.10* 6.10*.-6.10*	60	120	Ih	mali ikoziikozidodekaeder 5/23|3 W71, U31, K36, C40 F 52=20{3}+12{5/2}+20{6} χ=-8	mali ditrigonalni dodeciikozidodekaeder 5/33|5 W82, U43, K48, C55 F 44=20{3}+12{5/2}+12{10} χ=-16	mali dodeciikozaeder 3 3/2 5| W90, U50, K55, C64 F 32=20{6}+12{10} χ=-28
3.10/3.5.10/3 3.6*.-5.6* 10/3.6*.-10/3.6*	60	120	Ih	veliki ditrigonalni dodeciikozidodekaeder 3 5|5/3 W81, U42, K47, C54 F 44=20{3}+12{5}+12{10/3} χ=-16	veliki ikozidodekaeder 3/25|3 W88, U48, K53, C62 F 52=20{3}+12{5}+20{6} χ=-8	veliki dodeciikozieder 3 5/35/2| W101, U63, K68, C79 F 32=20{6}+12{10/3} χ=-28