Wythoffov simbol

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Wythoffian construction diagram sl.png

Wythoffov simbol so prvi uporabili Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 – 2003), Hugh Christopher Longuet-Higgins (1923 – 2004) in Miller v svojih pregledih uniformnih poliedrov. Predstavlja način uporabe Wythoffove konstrukcije z uporabo Schwarzevih trikotnikov

Schwartzov trikotnik je trikotnik, ki z lastnimi odboji na robovih, pokrije neskončno krat sfero ali ravnino. Običajni zapis za trikotnik so tri števila (cela števila ali ulomki) tako, da je π/x kot v enem izmed oglišč. Za zgled naj nam služi trikotnik (2 3 4) s simetrijo kocke, vrednosti (5/2 5/2 5/2) pa pomenijo stransko ploskev ikozaedra.

Wythoffova konstrukcija v treh razsežnostih sestavlja izbira točke v trikotniku katere razdalja do vsake izmed stranic, če je neničelna, je enaka in pada pravokotno na vsak rob.

Vsaka stranica trikotnika se imenuje po nasprotnem kotu. Tako je stranica nasproti pravemu kotu označena z '2'. Simbol tako predstavlja izključeno|vključeno. Vsako od števil p v simbolu postane mnogokotnik pn, kjer je n število drugih robov, ki nastopajo pred črtico. Tako je v 3 | 4 2 oglišče točka postane degenerirani mnogokotnik s stranicami 3x0 leži v kotu π/3 trikotnika in višino od tega vogala lahko smatramo kot, da tvori polovico meje med kvadratom (ima 4x1 stranic) in dvokotnikom (ima 2x1 stranic) z ničelno površino.

Posebni primer za snub-oblike, ki imajo simbol | p q r, lahko postavimo oglišče v središče sfere. Stranske ploskve prirezane oblike se izmenjujejo kot p 3 q 3 r 3. Iz tega dobimo antiprizmo, ko je q=r=2.

Vsak simbol predstavlja uniformni polieder ali tlakovanje, čeprav imajo nekatera tlakovanja in poliedri različne Wythoffove simbole za različne generatorje simetrije. Zgledi: pravilna kocka ima simbol enak 3 | 4 2 s simetrijo Oh. Kvadratna prizma z dvema barvama ima Wythofov simbol 2 4 | 2 . Simetrija D4h s tremi barvami ima Wythoffov simbol 2 2 2 |.

Skupna preglednica[uredi | uredi kodo]

Osem oblik Wythoffove konstrukcije iz splošnega trikotnika (p q r).

Obstoja sedem točk generiranja za vsako od množic p, q, r (in nekaj posebnih oblik)

splošno pravokotni trikotnik (r=2)
opis Wythoffov
simbol
konfiguracija
oglišča
Wythoffov
simbol
konfiguracija
oglišča
Schläflijev
simbol
pravilni in
kvazipravilni
q | p r (p.r)q q | p 2 pq {p,q}
p | q r (q.r)p p | q 2 qp {q,p}
r | p q (q.p)r 2 | p q (q.p)² t1{p,q}
prisekani in
razširjeni
q r | p q.2p.r.2p q 2 | p q.2p.2p t0,1{p,q}
p r | q p.2q.r.2q p 2 | q p. 2q.2q t0,1{q,p}
p q | r 2r.q.2r.p p q | 2 4.q.4.p t0,2{p,q}
parne stranske ploskve p q r | 2r.2q.2p p q 2 | 4.2q.2p t0,1,2{p,q}
p q (r s) | 2p.2q.-2p.-2q p 2 (r s) | 2p.4.-2p.4/3
prirezan | p q r 3.r.3.q.3.p | p q 2 3.3.q.3.p s{p,q}
| p q r s (4.p.4.q.4.r.4.s)/2 - -

Obstojajo trije posebni primeri:

  • p q (r s) | – to je mešanica p q r | in p q s |.
  • | p q r – prirezane (snub) oblike uporabljajo ta simbol, ki se sicer ne uporablja.
  • | p q r s – edinstvena prirezana oblika za U75, ki ga ne moremo konstruirati po Wythoffu.

Opis[uredi | uredi kodo]

Števila p, q, r opisujejo osnovni trikotnik grupe simetrije: na njegovih ogliščih se generirajoča zrcala srečajo v kotih π/p, π/q, π/r. na sferi so trije glavni tipi simetrije (3 3 2), (4 3 2) in (5 3 2) in neskončna družina (p 2 2) za poljuben p.

Položaj vertikalne črtice v simbolu določa določen položaj točke generiranja v osnovnem trikotniku. Točka generiranja je lahko vključena ali izključena oziroma aktivirana ali neaktivirana. To razlikovanje kreira 8 (23) možnih oblik. Pri tem smo zanemarili primer, ko je točka generiranja na vseh zrcalih.

V tej notaciji so zrcala označena z redom odboja nasprotnega oglišča. Vrednosti p,q,r, ki se nahajajo pred vertikalno črto pripadajo aktivnim zrcalom.

Nemogoč simbol v obliki | p q r pove, da so vse točke na zrcalih. To pa je možno samo, če so trikotniki degenerirani oziroma zmanjšani v točko. Ta neuporabljen simbol se torej koristi za predstavitev primera, ko so vsa zrcala aktivna. Pri tem so vsi neparni odboji izpuščeni. Rezultirajoča slika ima samo vrtilno (rotacijsko) simetrijo.

Ta simbol je funkcionalno podoben splošnejšemu Coxeter-Dynkinovemu diagramu. V njem vsak vozel predstavlja zrcalo in loke med njimi. Loke označimo s števili. Pomenijo pa kote med zrcali. Vozel obdamo s krogcem, če točka ni na zrcalu.

Trikotniki simetrije[uredi | uredi kodo]

Znani so 4 simetrijski razredi zrcaljenja na sferi, in dva v evklidski ravnini. Nekaj teh neskončno mnogih vzorcev v hiperbolični ravnini je tudi prikazanih.

diederska sferna sferna
D2h D3h Td Oh Ih
*222 *322 *332 *432 *532
Sphere symmetry group d2h.png
(2 2 2)
Sphere symmetry group d3h.png
(3 2 2)
Tetrahedral reflection domains.png
( 3 3 2)
Octahedral reflection domains.png
(4 3 2)
Icosahedral reflection domains.png
(5 3 2)

Zgornje grupe simetrije vključujejo samo celoštevilčne rešitve na sferi. Seznam Schwarzevih trikotnikov vključuje racionalna števila in določa celotno množico rešitev nekonveksnih uniformnih poliedrov.

evklidska ravnina
p4m p3m p6m
*442 *333 *632
Tile V488 bicolor.svg
(4 4 2)
Tile 3,6.svg
(3 3 3)
Tile V46b.svg
(6 3 2)
hiperbolična ravnina
*732 *542 *433
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
(7 3 2)
Order-4 bisected pentagonal tiling.png
(5 4 2)
Uniform dual tiling 433-t012.png
(4 3 3)

V zgornjih tlakovanjih predstavlja vsak trikotnik osnovno domeno in je pobarvan s parnimi in neparnimi odboji.

Celotno sferno in ravninsko tlakovanje[uredi | uredi kodo]

Izbrana tlakovanja so kreirana z Wythoffovo konstrukcijo in so prikazana spodaj.

Sferno tlakovanje (r = 2)[uredi | uredi kodo]

(p q 2) osnovni
trikotniki
starševsko telo prisekan rektificiran dvojno prisekan dvojno prisekan
dual
kanteliran omniprisekan
(kantiprisekan)
prirezan
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
slika oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
tetraedersko
(3 3 2)
Tetrahedral reflection domains.png Uniform tiling 332-t0-1-.png
{3,3}
Uniform tiling 332-t01-1-.png
(3.6.6)
Uniform tiling 332-t1-1-.png
(3.3a.3.3a)
Uniform tiling 332-t12.png
(3.6.6)
Uniform tiling 332-t2.png
{3,3}
Uniform tiling 332-t02.png
(3a.4.3b.4)
Uniform tiling 332-t012.png
(4.6a.6b)
Spherical snub tetrahedron.png
(3.3.3a.3.3b)
oktaedersko
(4 3 2)
Octahedral reflection domains.png Uniform tiling 432-t0.png
{4,3}
Uniform tiling 432-t01.png
(3.8.8)
Uniform tiling 432-t1.png
(3.4.3.4)
Uniform tiling 432-t12.png
(4.6.6)
Uniform tiling 432-t2.png
{3,4}
Uniform tiling 432-t02.png
(3.4.4a.4)
Uniform tiling 432-t012.png
(4.6.8)
Spherical snub cube.png
(3.3.3a.3.4)
ikozaedersko
(5 3 2)
Icosahedral reflection domains.png Uniform tiling 532-t0.png
{5,3}
Uniform tiling 532-t01.png
(3.10.10)
Uniform tiling 532-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform tiling 532-t12.png
(5.6.6)
Uniform tiling 532-t2.png
{3,5}
Uniform tiling 532-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform tiling 532-t012.png
(4.6.10)
Spherical snub dodecahedron.png
(3.3.3a.3.5)

Diederska simetrija (q = r = 2)[uredi | uredi kodo]

Sferno tlakovanje z diedersko simetrijo obstoja za vse p = 2, 3, 4, ... mnogi so z dvokotniškimistranskimi ploskvami, ki postanejo degenerirani poliedri. Dve od osmih oblik (rektificirana in kantelirana) so ponovitve in so v preglednici izpuščene.

(p 2 2) osnovni
trikotniki
starševsko telo prisekani Bitruncated
(truncated dual)
dvojno
rektificirani
dualni
omniprisekani
(kantiprisekani)
prirezani
razširjeni
Schläflijev simbol
\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,1,2{p,2} s{p,2}
Wythoffov simbol 2 | p 2 2 2 | p 2 p | 2 p | 2 2 p 2 2 | | p 2 2
Coxeter–Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
slika oglišč (2.2p.2p) (p.p) 2p (4.2p.4) (3.3.p. 3)
(2 2 2) Sphere symmetry group d2h.png Sphere symmetry group cs.png
{2,2}
2.4.4 4.4.2 Sphere symmetry group cs.png
{2,2}
Tetragonal prism.png
4.4.4
Tetrahedron-dual.png
3.3.3.2
(3 2 2) Sphere symmetry group d3h.png Trigonal dihedron.png
{3,2}
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Triangular prism.png
4.4.3
Triangular hosohedron.png
{2,3}
Hexagonal prism.png
4.4.6
Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
(4 2 2) {4,2} 2.8.8 Tetragonal prism.png
4.4.4
{2,4} Octagonal prism.png
4.4.8
Square antiprism.png
3.3.3.4
(5 2 2) {5,2} 2.10.10 Pentagonal prism.png
4.4.5
{2,5} Decagonal prism.png
4.4.10
Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
(6 2 2) Hexagonal dihedron.png
{6,2}
2.12.12 Hexagonal prism.png
4.4.6
Hexagonal hosohedron.png
{2,6}
Dodecagonal prism.png
4.4.12
Hexagonal antiprism.png
3.3.3.6
...

Ravninska tlakovanja (r = 2)[uredi | uredi kodo]

Prikazana so nekatera značilna hiperbolična tlakovanja kot projekcija na Poincaréjevem disku.

(p q 2) osnovni
trikotnik
starševsko telo prisekanost rektificirano dvojno prisekano dvojno rektificiramo
(dualno)
kantelirano Omnitruncated
(Cantitruncated)
prirezano (snub)
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
slika oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
kvadratno tlakovanje
(4 4 2)
Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg
V4.8.8
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
Uniform tiling 44-t01.png
4.8.8
Uniform tiling 44-t1.png
4.4a.4.4a
Uniform tiling 44-t12.png
4.8.8
Uniform tiling 44-t2.png
{4,4}
Uniform tiling 44-t02.png
4.4a.4b.4a
Uniform tiling 44-t012.png
4.8.8
Uniform tiling 44-snub.png
3.3.4a.3.4b
(hiperbolična ravnina)
(5 4 2)
Order-4 bisected pentagonal tiling.png Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
Uniform tiling 54-t01.png
4.10.10
Uniform tiling 54-t1.png
4.5.4.5
Uniform tiling 54-t12.png
5.8.8
Uniform tiling 54-t2.png
{4,5}
Uniform tiling 54-t02.png
4.4.5.4
Uniform tiling 54-t012.png
4.8.10
Uniform tiling 54-snub.png
3.3.4.3.5
(hiperbolična ravnina)
(5 5 2)
Order-5 bisected pentagonal tiling.png Uniform tiling 552-t0.png
{5,5}
Uniform tiling 552-t01.png
5.10.10
Uniform tiling 552-t1.png
5.5.5.5
Uniform tiling 552-t12.png
5.10.10
Uniform tiling 552-t2.png
{5,5}
Uniform tiling 552-t02.png
4.4.5.4
Uniform tiling 552-t012.png
4.10.10
Uniform tiling 552-snub.png
3.3.5.3.5
šestkotno tlakovanje
(6 3 2)
Tile V46b.svg
V4.6.12
Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
Uniform tiling 63-t01.png
3.12.12
Uniform tiling 63-t1.png
3.6.3.6
Uniform tiling 63-t12.png
6.6.6
Uniform tiling 63-t2.png
{3,6}
Uniform tiling 63-t02.png
3.4.6.4
Uniform tiling 63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 63-snub.png
3.3.3.3.6
(hiperbolična ravnina)
(7 3 2)
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
Uniform tiling 73-t01.png
3.14.14
Uniform tiling 73-t1.png
3.7.3.7
Uniform tiling 73-t12.png
7.6.6
Uniform tiling 73-t2.png
{3,7}
Uniform tiling 73-t02.png
3.4.7.4
Uniform tiling 73-t012.png
4.6.14
Uniform tiling 73-snub.png
3.3.3.3.7
(hiperbolična ravnina)
(8 3 2)
Order-3 octakis octagonal tiling.png Uniform tiling 83-t0.png
{8,3}
Uniform tiling 83-t01.png
3.16.16
Uniform tiling 83-t1.png
3.8.3.8
Uniform tiling 83-t12.png
8.6.6
Uniform tiling 83-t2.png
{3,8}
Uniform tiling 83-t02.png
3.4.8.4
Uniform tiling 83-t012.png
4.6.16
Uniform tiling 83-snub.png
3.3.3.3.8
(hiperbolična ravnina)
(∞ 3 2)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2checkers 23i.png H2 tiling 23i-1.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-3.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-2.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-6.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
H2 tiling 23i-4.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
H2 tiling 23i-5.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
H2 tiling 23i-7.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
(hiperbolična ravnina)
(∞ 4 2)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2checkers 24i.png H2 tiling 24i-1.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-3.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-2.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-6.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
H2 tiling 24i-4.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
H2 tiling 24i-5.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
H2 tiling 24i-7.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
(hiperbolična ravnina)
(∞ ∞ 2)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2checkers 2ii.png H2 tiling 2ii-1.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-3.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-2.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-6.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-4.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
H2 tiling 2ii-5.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
H2 tiling 2ii-7.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png

Ravninska tlakovanja (r > 2)[uredi | uredi kodo]

Coxeter-Dynkinov diagram je podan v linearni obliki, čeprav je v resnici trikotnik, ki ima zadnji segment povezan s prvim vozlom.

Wythoffov simbol
(p q r)
osnovni
trikotniki
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Coxeter-Dynkinov diagram CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel 3.pngCDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.png
slika oglišč (p.q)r (r.2p.q.2p) (p.r)q (q.2r.p. 2r) (q.r)p (p.2q.r.2q) (2p.2q.2r) (3.r.3.q.3.p)
evklidski
(3 3 3)
Tile 3,6.svg Uniform tiling 333-t0.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t01.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t12.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t2.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t02.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t012.png
6.6.6
Uniform tiling 333-snub.png
3.3.3.3.3.3
hiperbolični (4 3 3) Uniform dual tiling 433-t012.png Uniform tiling 433-t0.png
(3.4)³
Uniform tiling 433-t01.png
3.8.3.8
Uniform tiling 433-t1.png
(3.4)³
Uniform tiling 433-t12.png
3.6.4.6
Uniform tiling 433-t2.png
(3.3)4
Uniform tiling 433-t02.png
3.6.4.6
Uniform tiling 433-t012.png
6.6.8
Uniform tiling 433-snub.png
3.3.3.3.3.4
hiperbolični
(4 4 3)
Uniform dual tiling 443-t012.png Uniform tiling 443-t0.png
(3.4)4
Uniform tiling 443-t01.png
3.8.4.8
Uniform tiling 443-t1.png
(3.4)4
Uniform tiling 443-t12.png
3.6.4.6
Uniform tiling 443-t2.png
(3.4)4
Uniform tiling 443-t02.png
4.6.4.6
Uniform tiling 443-t012.png
6.8.8
Uniform tiling 443-snub.png
3.3.3.4.3.4
hiperbolični
(4 4 4)
Uniform dual tiling 444-t012.png Uniform tiling 444-t0.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t01.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t1.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t12.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t2.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t02.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t012.png
8.8.8
Uniform tiling 444-snub.png
3.4.3.4.3.4
hiperbolični
(3 3 ∞)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.png
H2checkers 33i.png H2 tiling 33i-1.png H2 tiling 33i-3.png H2 tiling 33i-2.png H2 tiling 33i-6.png H2 tiling 33i-4.png H2 tiling 33i-5.png H2 tiling 33i-7.png
hiperbolični
(3 ∞ ∞)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
H2checkers 3ii.png H2 tiling 3ii-1.png H2 tiling 3ii-3.png H2 tiling 3ii-2.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.png
H2 tiling 3ii-6.png H2 tiling 3ii-4.png H2 tiling 3ii-5.png H2 tiling 3ii-7.png
hiperbolični
(∞ ∞ ∞)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
H2checkers iii.png H2 tiling iii-1.png H2 tiling iii-3.png
CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
H2 tiling iii-2.png H2 tiling iii-6.png H2 tiling iii-4.png
CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
H2 tiling iii-5.png H2 tiling iii-7.png
CDel 3.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel infin.png

Prekrivajoča se sferna tlakovanja (r = 2)[uredi | uredi kodo]

Tlakovanja so prikazana kot poliedri. Nekaj oblik je degeneriranih. Te so prikazane z oklepaji za slike oglišč, z prekrivajočimi se robovi ali oglišči.

(p q 2) osnovni
trikotnik
starševsko telo prisekani rektificirani dvojno prisekani dvojno prisekani
(dualni)
kantelirani omniprisekani
(kantiprisekani)
prirezani (snub)
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
slika oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p. 2q.2q) qp (p. 4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p. 3.q)
ikozaedersko
(5/2 3 2)
  Great icosahedron.png
{3,5/2}
Great truncated icosahedron.png
(5/2.6.6)
Great icosidodecahedron.png
(3.5/2)2
Icosahedron.png
[3.10/2.10/2]
Great stellated dodecahedron.png
{5/2,3}
Cantellated great icosahedron.png
[3.4.5/2.4]
Omnitruncated great icosahedron.png
[4.10/2.6]
Great snub icosidodecahedron.png
(3.3.3.3.5/2)
ikozaedersko
(5 5/2 2)
  Great dodecahedron.png
{5,5/2}
Great truncated dodecahedron.png
(5/2.10.10)
Dodecadodecahedron.png
(5/2.5)2
Dodecahedron.png
[5.10/2.10/2]
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
Cantellated great dodecahedron.png
(5/2.4.5.4)
Omnitruncated great dodecahedron.png
[4.10/2.10]
Snub dodecadodecahedron.png
(3.3.5/2.3.5)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]